已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 18:09:25
已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4

已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4
已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4

已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4
a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/a
a/b+b/a>=2
而ab

(a+1/a)(b+1/b)
=(a²+1)/a*(b²+1)/b
=(a²b²+a²+b²+1)/ab
a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab
所以(a+1/a)(b+1/b)=(a²b²-2ab+2)/ab
=(ab+2/ab)-2
a+b=1
所以 0所以ab+2/ab递减
所以ab=1/4
最小值是1/4+8-2=25/4