在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,若对角线BD与AB、AF交于点M、N,且BM=MN,求证：∠EAF=2∠BAE

在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,若对角线BD与AB、AF交于点M、N,且BM=MN,求证：∠EAF=2∠BAE
在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,若对角线BD与AB、AF交于点M、N,且BM=MN,求证：∠EAF=2∠BAE

在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,若对角线BD与AB、AF交于点M、N,且BM=MN,求证：∠EAF=2∠BAE
证明：连结AC交BD于点0,
因为ABCD是菱形,
所以BC=CD=AB=AD,角ABC=角ADC,
因为AE垂直于BC于E,AF垂直CD于F,
所以由平行四边形面积=底乘高的计算公式可知：AE=AF,
所以三角形ABE全等于三角形ADF,
所以AE=DF,
因为角DBC=角ABC的一半,角BDC=角ADC的一半,
所以角BDC=角ADC
所以三角形BME全等于三角形DNF,
所以DN=BM=MN,
因为ABCD是菱形,
所以BO=DO,角BOC是直角,
所以OM=ON,BM=2OM,
因为AO=CO,BO是三角形ABC的中线,又BM=2OM,
所以M是三角形ABC的重心,AE是BC边上的中线,
所以BE=BC的一半=AB的一半,
所以角BAE=30度,角ABC=60度,
因为三角形ABE全等于三角形CDF,
所以角DAF=30度,
因为AD平行于BC,角ABC=60度,
所以角BAD=120度,
所以角EAF=60度,
所以角EAF=2角BAE.