求定积分∫ √3 1 dx/x^2√(1+x^2) 答案是√2-(2√3)/3

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 05:32:26
求定积分∫ √3 1 dx/x^2√(1+x^2) 答案是√2-(2√3)/3

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求定积分∫ √3 1 dx/x^2√(1+x^2) 答案是√2-(2√3)/3

求定积分∫ √3 1 dx/x^2√(1+x^2) 答案是√2-(2√3)/3
令x=tanu,则:sinu=tanu/√[1+(tanu)^2]=x/√(1+x^2),dx=[1/(cosu)^2]du.%D%A∴∫{1/[x^2√(1+x^2)]}dx%D%A=∫{1/[(tanu)^2/cosu]}[1/(cosu)^2]du%D%A=∫{1/[(tanu)^2cosu]}du%D%A=∫[cosu/(sinu)^2]du%D%A=∫[1/(sinu)^2]d(sinu)%D%A=-1/sinu+C%D%A=-√(1+x^2)/x+C.%D%A%D%A∴∫(上限为√3,下限1){1/[x^2√(1+x^2)]}dx%D%A=-√(1+x^2)/x|(上限为√3,下限1)%D%A=-√(1+3)/√3+√(1+1)%D%A=√2-2√3/3.