作业帮已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)(1)求实数a,b的值(2)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立,求实数m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 04:14:22
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已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)(1)求实数a,b的值(2)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立,求实数m的取值范围
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)
(1)求实数a,b的值
(2)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立,求实数m的取值范围
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1)(1)求实数a,b的值(2)若x∈[1,2]时,不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立,求实数m的取值范围
(1).切于一点,可以给我们提供两个信息.
第一,是这点在曲线上.
第二,是这点的斜率与直线的斜率相等.
斜率即导数,那么要求曲线的导数.
f`(x)=3x^2+2ax+b,直线化成y=4x+5,斜率是4.
可以得到
①x=-1点导数为4,得到f`(-1)=3-2a+b=4
②f(-1)=-1+a-b+2=1.
联立得a=-1,b=-1.
（2）.f(x）=x^3-x^2-x+2.
f(x)≥mx^2-x-2,恒成立,移向,整理得x^3-(1+m)x^2+4≥0恒成立.
构造新函数,g(x)=x^3-(1+m)x^2+4,求它的单调性.
g`(x)=3x^2-2(1+m).
讨论
①,m＜0,导数全体＞0,即在x∈[1,2]上为增函数.
由恒成立,得最小值≥0,即g(1)≥0,解得m≤4.与m＜0取交,得m＜0.
②,m≥0,g`(x)=3x^2-2(1+m)=3*(x^2-2/3*(1+m))=3*[x+√(2/3*(1+m))]*[x-√(2/3*(1+m))]
所以减区间为[-√(2/3*(1+m)）,+√(2/3*(1+m))]
然后画图,讨论[1,2]和这个区间的关系.
太墨迹了,要不你自己试试看.
要不等我一天,明天晚上给你回复.
第一问很简单啊，先求导，根据导数的含义，导函数在-1处的函数值就是直线的斜率（1） 因为该点在原函数上，所以f（-1）=1（2） 将（1）（2）联立就求出ab了
第二问要读懂，若x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立，即若x∈[1,2]时，函数的最小值都)≥mx^2-x-2恒成立，所以求函数在x∈[1,2]时的最值...
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第一问很简单啊，先求导，根据导数的含义，导函数在-1处的函数值就是直线的斜率（1） 因为该点在原函数上，所以f（-1）=1（2） 将（1）（2）联立就求出ab了
第二问要读懂，若x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx^2-x-2恒成立，即若x∈[1,2]时，函数的最小值都)≥mx^2-x-2恒成立，所以求函数在x∈[1,2]时的最值
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