如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5OC=6根号2 则另一直角边BC的长为

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 14:05:27

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5OC=6根号2 则另一直角边BC的长为
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5
OC=6根号2 则另一直角边BC的长为

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5OC=6根号2 则另一直角边BC的长为
解法一：如图1所示,过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,
∵四边形ABDE为正方形,
∴∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠AOM+∠BOF=90°,
又∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,
∴∠BOF=∠OAM,
在△AOM和△BOF中,
∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOFOA=OB,
∴△AOM≌△BOF（AAS）,
∴AM=OF,OM=FB,
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,
∴四边形ACFM为矩形,
∴AM=CF,AC=MF=5,
∴OF=CF,
∴△OCF为等腰直角三角形,
∵OC=6根号2,
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2,
解得：CF=OF=6,
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1,
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．

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分析：过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF-MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．

解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOFOA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=62，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．

解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=62，∴CM=6．
∴MA=CM-AC=6-5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．