作业帮已知数列｛an｝满足Sn+Sn-1=tan^2(t＞0,n≥2）,且a1=0, n≥2时,an>0,其中Sn是数列an的前n项和（1）求数列｛an｝的通项公式（2）若对于n≥2,n属于N*,不等式1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）＜2恒成立,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:30:37
已知数列｛an｝满足Sn+Sn-1=tan^2(t＞0,n≥2）,且a1=0, n≥2时,an>0,其中Sn是数列an的前n项和（1）求数列｛an｝的通项公式（2）若对于n≥2,n属于N*,不等式1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）＜2恒成立,
已知数列｛an｝满足Sn+Sn-1=tan^2(t＞0,n≥2）,且a1=0, n≥2时,an>0,其中Sn是数列an的前n项和
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）若对于n≥2,n属于N*,不等式1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）＜2恒成立,求t的取值范围
已知数列｛an｝满足Sn+Sn-1=tan^2(t＞0,n≥2）,且a1=0, n≥2时,an>0,其中Sn是数列an的前n项和（1）求数列｛an｝的通项公式（2）若对于n≥2,n属于N*,不等式1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）＜2恒成立,
[Sn]+[Sn-1]=t*[an]²
[sn+1]+[sn]=t*[an+1]²
两式想减 得 [sn+1]-[Sn-1]=t*[an+1]²-t*[an]²=t([an+1]+[an])([an+1]-[an]) 平方差公式）
而[sn+1]-[Sn-1]=[an+1]+[an] 前n+1项和比前n-1项和,多了[an]和[an+1] 两项）
所以t([an+1]+[an])([an+1]-[an]) =[an+1]+[an] 两边约去 [an+1]+[an] 得
t([an+1]-[an])=1 [an+1]-[an]=1/t 该数列为等差数列 公差d=1/t a1=0 由等差数列公式得
[an]=[a1]+(n-1)d=(n-1)/t
(2) 1/（anan+1）=1/{[(n-1)/t * (n/t)}=t / n(n-1)=t * [ (1/(n-1)- 1/n ]
(裂项公式1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n ,你可以倒推一下,是正确的 )
所以 1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）=t * [ 1/(2-1)-1/2 ] +t * [ (1/(3-1)-1/3 ] +.t * [ 1/(n-2)- 1/(n-1)] +t * [ 1/(n-1)-1/n ] 前后两项相互抵消
所以 得到1/（a2a3）+1/（a3a4）+…+1/（anan+1）=t *(1-1/n)