对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n函数f(x)=ax^3+(b-2)x^2 在R上是奇函数,求a,b满足的条件；并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)大

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 00:57:26

对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n函数f(x)=ax^3+(b-2)x^2 在R上是奇函数,求a,b满足的条件；并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)大
对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n
函数f(x)=ax^3+(b-2)x^2 在R上是奇函数,求a,b满足的条件；并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)大于等于-x^2+4x-2恒成立

对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n函数f(x)=ax^3+(b-2)x^2 在R上是奇函数,求a,b满足的条件；并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)大
两点对称的充要条件是：设对称点坐标为：(x,y)
则恒有
对称的两点横坐标：x-a,x+a
纵坐标：f(x-a)=f(x)+m f(x+a)=f(x)-m
知道这些,就好证了.
充分：
A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点
则有：f(m-x)=n+a
f(m+x)=n-a
两式相加
f(m-x)+f(m+x)=2n
必要：
f(m-x)+f(m+x)=2n
令f(m-x)=n+a,则f(m+x)=n-a
A(m,n)为f(x)的对称点.
f(x)=-f(-x)
ax^3+(b-2)x^2=-[a(-x)^3+(b-2)(-x)^2]
ax^3+(b-2)x^2=ax^3-(b-2)x^2
2(b-2)x^2=0
x属于R,则只有b-2=0 b=2
a只要不为0,都满足,
因此a,b满足的条件为：a为不为0的任意实数,b=2
f(x)=ax^3
ax^3>=-x^2+4x-2恒成立.
ax^3+x^2-4x+2>=0恒成立.
(ax^3+x^2-4x+2)'
=3ax^2+2x-4
=3a(x+1/3a)^2-4-1/3a
a>0时,x=-1/3a时,函数取得最小值,只要最小值大于等于0,就可以了.
-1==0
整理,得
(a+1/3)^2>=2/27
a>0都满足
因此,存在无数多常数a,使不等式恒成立,a的取值范围为：a>=1/3