如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证：平面ABC垂直平面APC （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 18:45:22

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证：平面ABC垂直平面APC （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2
(1)求证：平面ABC垂直平面APC （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2(1)求证：平面ABC垂直平面APC （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
第一个问题：
取AC的中点为D.
∵AB＝BC＝2√2、AC＝4,∴AB^2＋BC^2＝AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有：AB⊥BC.
由AB⊥BC、AD＝CD,得：BD＝AC/2＝2.
∵PA＝PC＝AC＝4,∴AD＝CD＝2、PD⊥CD,∴PD＝√3CD＝2√3.
∵PD＝2√3、BD＝2、PB＝4,∴PD^2＋BD^2＝PB^2,∴由勾股定理的逆定理,有：BD⊥PD.
由AB＝BC、D∈AC且AD＝CD,得：BD⊥AC.
由BD⊥AC、BD⊥PD、AC∩PD＝D,得：BD⊥平面APC,而BD在平面ABC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题：
取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F.
∵PB＝PC＝4、BC＝2√2,又BE＝CE,∴BE⊥PE、BE＝√2,
∴由勾股定理,有：PE＝√（PB^2－BE^2）＝√（16－2）＝√14.
∴S(△PBC)＝（1/2）BC×PE＝（1/2）×2√2×√14＝2√7.
∴V(A－PBC）＝（1/3）S(△PBC)×AF＝（1/3）×2√7AF.
∵PA＝PC＝AC＝4,∴S(△PAC)＝（1/2）AC×PD＝（1/2）×4×2√3＝4√3.
∵BD⊥平面PAC,∴V(B－PAC)＝（1/3）S(△PAC)×BD＝（1/3）×4√3×2＝8√3/3.
显然有：V(A－PBC）＝V(B－PAC),∴（1/3）×2√7AF＝8√3/3,∴AF＝4√3/√7.
∴sin∠APF＝AF/PA＝（4√3/√7）/4＝√3/√7＝√21/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠APF就是PA与平面PBC所成的角.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 √21/7.