作业帮∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧P=y^2+xe^(2y)),对y求导=2y+2xe^(2y)Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)I=∮闭环 -∫(y=0)=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx=-2∫∫ydx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:51:02
![∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧P=y^2+xe^(2y)),对y求导=2y+2xe^(2y)Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)I=∮闭环 -∫(y=0)=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx=-2∫∫ydx](/uploads/image/z/2796675-51-5.jpg?t=%E2%88%AB%28y%5E2%2Bxe%5E%282y%29%29dx%2B%28x%5E2e%5E%282y%29%2B1%29dy%2CC%E6%98%AF%E6%B2%BF%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%9C%86%E5%BC%A7%28x-2%29%5E2%2By%5E2%3D4%2C%E7%94%B1%E7%82%B9O%280%2C0%29%E5%88%B0%E7%82%B9A%284%2C0%29%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%AE%B5%E5%BC%A7P%3Dy%5E2%2Bxe%5E%282y%29%29%2C%E5%AF%B9y%E6%B1%82%E5%AF%BC%3D2y%2B2xe%5E%282y%29Q%3Dx%5E2e%5E%282y%29%2B1%2C%E5%AF%B9x%E6%B1%82%E5%AF%BC%E6%95%B0%3D2xe%5E%282y%29I%3D%E2%88%AE%E9%97%AD%E7%8E%AF+-%E2%88%AB%28y%3D0%29%3D%E2%88%AB%E2%88%AB%28-2y%29dxdy-%E2%88%AB%5B4%2C0%5Dxdx%3D-2%E2%88%AB%E2%88%ABydx)
∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧P=y^2+xe^(2y)),对y求导=2y+2xe^(2y)Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)I=∮闭环 -∫(y=0)=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx=-2∫∫ydx
∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧
P=y^2+xe^(2y)),对y求导=2y+2xe^(2y)
Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)
I=∮闭环 -∫(y=0)
=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx
=-2∫∫ydxdy+8
=-4∫[π/2,0]sinada∫[0,2]dr+8
=8+8=16
正确答案是56/3
∫(y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy,C是沿第一象限的半圆弧(x-2)^2+y^2=4,由点O(0,0)到点A(4,0)的一段弧P=y^2+xe^(2y)),对y求导=2y+2xe^(2y)Q=x^2e^(2y)+1,对x求导数=2xe^(2y)I=∮闭环 -∫(y=0)=∫∫(-2y)dxdy-∫[4,0]xdx=-2∫∫ydx
∫[C](y^2+xe^(2y))dx+(x^2e^(2y)+1)dy
P=y^2+xe^(2y),
∂P/∂y=2y+2xe^(2y,
Q=x^2e^(2y)+1,
∂Q/∂x=2xe^(2y),
∂Q/∂x-∂P/∂y=-2y,
补充画一条从（0,0）至A（4,0）直线,则形成一个封闭图形,
根据格林公式,正方向的左边始终是封闭曲线内,反时针方向为正,而题目是顺时针方向,故积分号前应加负号,
路径是半圆,在X轴上半部,y=√[4-(x-2)^2]=√（4x-x^2),
0≤y≤√（4x-x^2),
0≤x≤4,
转成极坐标,0≤r≤4cosθ,
0≤θ≤π/2,
-∮[C]Pdx+Qdy=-∫[D]∫（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy
=∫[D]∫（2y)dxdy
=2∫[0,4]dx∫[0,√（4x-x^2)] ydy
=2∫[0,4]dx(y^2/2)[[0,√（4x-x^2)]
=∫[0,4]（4x-x^2)dx
=(2x^2-x^3/3)[0,4]
=32-64/3
=32/3,
若用极坐标,
∫[D]∫（2y)dxdy
=2∫[0,π/2]d θ ∫[0,4 cosθ]rsinθ rdr
=(2/3)∫[0,π/2] (64cosθ）^3 sinθd θ
=-（128/3）∫[0,π/2] （cosθ）^3d(cosθ）
=-（128/3）（cosθ)^4/4[0,π/2]
=-(32/3)(0-1)
=32/3,与上结果相同,
再加上从（0,0）至（4,0）路径,原是顺时针,现是反时针,故互相抵销,只剩半圆弧,
OA方程为：y=0,(0≤x≤4),
原积分式变为：∫[0,4]xdx=（x^2/2)[0,4]=8,
∴原式=32/3+8=56/3.