三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-2根号3),抛物线Y=.ax平方+bx+c经过A、B、C三点,若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P,使得三角形BDP的周长最小,若存在,求出P点坐标

三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-2根号3),抛物线Y=.ax平方+bx+c经过A、B、C三点,若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P,使得三角形BDP的周长最小,若存在,求出P点坐标
三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-2根号3),抛物线Y=.ax平方+bx+c经过A、B、C三点,
若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P,使得三角形BDP的周长最小,若存在,求出P点坐标

三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-2根号3),抛物线Y=.ax平方+bx+c经过A、B、C三点,若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P,使得三角形BDP的周长最小,若存在,求出P点坐标
你作B点关于AC直线的对称点E,即B点和E点关于直线AC是对称的,然后连接E和D,交点为P,这就是我们要求的点.所以,你只需要求出E的坐标,然后求直线AC和DE的交点即可

依题意有
0 = 4a - 2b + c
0 = 36a + 6b + c
-2√3 = b
解得 a = √3 / 2，b = -2√3，c = -6√3
抛物线 Y = √3 /2 X^2 - 2√3 X - 6√3 = √3 /2 (X^2 - 4X) - 6√3
= √3 /2 (X^2 - 4X + 4 - ...

全部展开

依题意有
0 = 4a - 2b + c
0 = 36a + 6b + c
-2√3 = b
解得 a = √3 / 2，b = -2√3，c = -6√3
抛物线 Y = √3 /2 X^2 - 2√3 X - 6√3 = √3 /2 (X^2 - 4X) - 6√3
= √3 /2 (X^2 - 4X + 4 - 4) - 6√3 = √3 /2 (X - 2)^2 - √3 /2 * 4 - 6√3
= √3 /2 (X - 2)^2 - 8√3
则 D（2，-8√3）
BD = √[ (6 - 2)^2 + (0 + 8√3)^2 ] = 4√13
设直线AC解析式为 Y = kX + b
则 0 = -2k + b
-2√3 = b
解得 k = - √3，b = -2√3
即 Y = -√3 X -2√3
则 P（X，-√3 X -2√3）
PB = √[(X - 6)^2 + (-√3 X -2√3 - 0)^2 ] = 2√(X^2 + 12)
PD = √[(X - 2)^2 + (-√3 X -2√3 + 8√3)^2 ] = 2√(X^2 -10X + 28)
L = PB + PD + BD
= 2√(X^2 + 12) + 2√(X^2 -10X + 28) + 4√13
= {√[2√(X^2 + 12)]}^2 + {√[2√(X^2 -10X + 28)]}^2 + 4√13
根据 a^2 + b^2 ≥ 2ab，当a = b时有最小值
则 √[2√(X^2 + 12)] = √[2√(X^2 -10X + 28)]
即 X^2 + 12 = X^2 -10X + 28
解得 X = 8/5，Y = -5√3 /8 - 2√3
则 P（8/5，-5√3 /8 - 2√3）

收起

三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6，0)、C(0，-2√3)，抛物线Y=.ax²+bx+c经过A、B、C三点, 若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P，使得三角形BDP的周长最小，若存在，求出P点坐标
先求抛物线方程：c=-2√3 (x=0时y=c=-2√3)
4a-2b-2√3=0...............(1)
36a+6b-2√3...

全部展开

三角形ABC的三个顶点坐标为A(-2,0)、B(6，0)、C(0，-2√3)，抛物线Y=.ax²+bx+c经过A、B、C三点, 若抛物线顶点点为D在直线AC上是否存在一个P，使得三角形BDP的周长最小，若存在，求出P点坐标
先求抛物线方程：c=-2√3 (x=0时y=c=-2√3)
4a-2b-2√3=0...............(1)
36a+6b-2√3=0.............(2)
(2)-(1)得32a+8b=0，即b=-4a，代入（1）式得a=√3/6，b=-2√3/3
故解析式为 y=(√3/6)x²-(2√3/3)x-2√3=(√3/6)[x²-4x-12]=(√3/6)[(x-2)²-16]
顶点D(2，-8√3/3).
AC所在直线的方程为：y=(-√3)(x+2)，即(√3)x+y+2√3=0.............(3)，
斜率KAC=-√3.
点D到AC的距离d=│2√3-8√3/3+2√3│/2=2√3/3.
过D作AC的垂直线DF，垂足为F，并延长一倍到G，使FG=DF=2√3/3.那么G与D关与直线AC对称。垂线DF的方程为：y=(√3/3)(x-2)-8√3/3=(√3/3)(x-10)，设G点的坐标为(m，(√3/3)(m-10))
点G到直线AC的距离＝│(√3)m+(√3/3)(m-10)+2√3│/2=(2√3/3)│(m-1)│=2√3/3，m-1=-1
故m=0，于是得G点的坐标为(0，-10√3/3).
连接BG，则BG所在直线的方程为：y=(5√3/9)(x-6)..................(4)
BG与AC的交点就是所要求的P，为此将（3）（4）联立求解:
由-(√3)(x+2)=(5√3/9)(x-6)即得x=6/7，y=-20√3/7,即P点的坐标为（6/7，-20(√3)/7).
此时△BDP的周长最小。
证明：∵AC是GD的垂直平分线，∴PD=PG，于是△BDP的周长＝BP+PD+DB=BG+DB
如果点P不在现在的位置而是在P₁的位置（P₁仍在AC上），那么P₁D=P₁G，
而P₁G+P₁B>BG，故△P₁DB的周长＝P₁D+P₁B+DB=P₁G+P₁B+DB>BG+DB

收起

可以证出∠ACO=30°，∠OBC=30°，所以∠BCA=90°，B点关于AC直线的对称点B撇，B O B撇在同一直线上；作B撇E⊥y轴于E，能证出来三角形BOC≌于三角形B撇EC，所以B撇（-6，-4倍根号3），求出AC解析式和DB撇解析式，然后建立方程组，解就是答案