将边长为a的正方形铁片在它的四角各减去一个小正方形（减去的四个小正方形全等),然后弯折成一只无盖盒子,问：剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?

将边长为a的正方形铁片在它的四角各减去一个小正方形（减去的四个小正方形全等),然后弯折成一只无盖盒子,问：剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
将边长为a的正方形铁片在它的四角各减去一个小正方形（减去的四个小正方形全等),然后弯折成一只无盖盒子,问：剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?

将边长为a的正方形铁片在它的四角各减去一个小正方形（减去的四个小正方形全等),然后弯折成一只无盖盒子,问：剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
如图
设减去的边长为x（x<a/2）
则盒子容积为：V=（a-2x）&sup2;·x=4x^3-4ax&sup2;+a&sup2;x
对V求导数：V'=12x&sup2;-8ax+a&sup2;=（2x-a）（6x-a）
另V'=0,x=a/2或a/6,因为x<a/2
所以x=a/6是一个极值
V’’=24x-8a=-4a<0(x=a/6时)
所以x=a/6是个极大值
所以当x=a/6时,制成的盒子容积最大

设减去的一个小正方形边长为x
则盒子容积V= x(a-2x)²
令V'=(a-2x)(a-6x)=0得x=a/6
V''(a/6)<0
所以当x=a/6时,制成的盒子容积.