作业帮已知函数y=4^x-3(2^x)+3的值域为[1,7],则则x的取值范围为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:04:45
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已知函数y=4^x-3(2^x)+3的值域为[1,7],则则x的取值范围为?
已知函数y=4^x-3(2^x)+3的值域为[1,7],则则x的取值范围为?
已知函数y=4^x-3(2^x)+3的值域为[1,7],则则x的取值范围为?
y=4^x-3(2^x)+3=(2^x)^2-3(2^x)+3=(2^x-2)(2^x-1)+1
由于值域是[1,7],那么
1≤(2^x-2)(2^x-1)+1≤7
即：0≤(2^x-2)[(2^x-2)+1]≤6=2×(2+1)
考虑到2^x>0,即
∴0≤2^x-2≤2 或 -1
设t=2^x,则y=t^2-3t+3∈[1,7],
∴{t^2-3t+2>=0,
{t^2-3t-4<=0,
∴{t<=1,或t>=2;
{-1<=t<=4.
∴-1<=t<=1,或2<=t<=4.
∴2^x<=1,或2<=2^x<=4,
∴x<=0,或1<=x<=2,为所求。
【解】y=4^x-3×(2^x)+3=(2^x)^2-3×(2^x)+3，设t=2^x，即y=t^2-3t+3。1≤y≤7，即1≤t^2-3t+3≤7。
（1）t^2-3t+3≥1推出t^2-3t+2=(t-1)(t-2)≥0推出t≤1或t≥2；
（2）t^2-3t+3≤7推出t^2-3t-4=(t-4)(t+1)≤0推出-1≤t≤4。
综合上面两步得知t的取值范围是t∈[...
全部展开
【解】y=4^x-3×(2^x)+3=(2^x)^2-3×(2^x)+3，设t=2^x，即y=t^2-3t+3。1≤y≤7，即1≤t^2-3t+3≤7。
（1）t^2-3t+3≥1推出t^2-3t+2=(t-1)(t-2)≥0推出t≤1或t≥2；
（2）t^2-3t+3≤7推出t^2-3t-4=(t-4)(t+1)≤0推出-1≤t≤4。
综合上面两步得知t的取值范围是t∈[-1,1]∪[2,4]。因为t=2^x，恒＞0，且在x∈(-∞,+∞)上单调递增，t=1推出x=0，t=2推出x=1，t=4推出x=2,。因此x的取值范围是(-∞,0]∪[1,2]。
收起
y=4^x-3(2^x)+3=2^2x-3(2^x)+3=(2^x-3/2)²+3/4的值域为[1,7]
即1≤(2^x-3/2)²+3/4≤7
1/4≤(2^x-3/2)²≤25/4
所以1/2≤2^x-3/2≤5/2或1/2≤3/2-2^x≤5/2
2≤2^x≤8或-1≤2^x≤1
因为2^x>0
所以0≤2^x≤1或2≤2^x≤8
解得x<0或1