如图,m.n是四边形ABCD的边BC,AD的中点,且AB与CD不平行.求证:MN＜½﹙AB+CD﹚ 图：

如图,m.n是四边形ABCD的边BC,AD的中点,且AB与CD不平行.求证:MN＜½﹙AB+CD﹚ 图：
如图,m.n是四边形ABCD的边BC,AD的中点,且AB与CD不平行.求证:MN＜½﹙AB+CD﹚ 图：

如图,m.n是四边形ABCD的边BC,AD的中点,且AB与CD不平行.求证:MN＜½﹙AB+CD﹚ 图：
取BD中点P,连接NP、MP,
在三角形ABD中,因为N、P分别是AD、BD的中点,则：
NP=(1/2)AB -----------------------------(1)
同理,在三角形BCD中,有：
MP=(1/2)CD ----------------------------(2)
(1)加(2),得：
NP＋MP=(1/2)(AB＋CD)
在三角形MNP中,有：
MNMN<(1/2)(AB＋CD)

取E,F,使ABME,MCDF皆平行四边形，连接FN,EN,

AE‖＝BC/2‖＝FD.∠EAN＝∠NDF.AN＝ND.∴⊿NEA≌⊿NFD（SAS）

∴∠ANE＝∠DNF.E,N,F共线，且EN＝NF.MN为⊿MEF中EF上的中线。

向量MN＝（向量ME+向量MF）/2

∴|MN|＝|向量MN|＝|向量ME+向量MF|/2≤[|向量ME|+|向量MF|]/2＝

＝[|ME|+|MF|]/2＝[|AB|+|CD|]/2.