作业帮在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 00:39:46
在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
在△ABC中,（a+b+c）(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,并且sinA=2sinBcosC,△ABC是什么三角形?
sinA=2sinBcosC
a=2bcosC
由a=2bcosC,所以由余弦定理有
c^2=a^2+b^2-2abcosC
又a=2bcosC,cosC=a/2b,代入上式,得
c^2=a^2+b^2-a^2
c^2=b^2
c=b
由sinA/a=sinB/b=sinC/c=D,有sinA=aD,sinB=bD,sinC=cD,（D为直径）
代入(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=3bsinC,得
(a+b+c)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
a^2=(b+c)^2-3bc
a^2=b^2+c^2-bc
由余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以cosA=1/2,A=π/3
综上,a=b=c 三角形ABC是等边三角形
sinA=2sinBcosC，则sin(B＋C)=2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC=2sinBcosC，就是sinBcosC－cosBsinC=0，即sin(B－C)=0，从而B=C，即b=c。
另外，(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=3bsinC，(a＋b＋c)(b＋c－a)=3bc，展开，得：(b＋c)²－a²=3bc，b&su...
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sinA=2sinBcosC，则sin(B＋C)=2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC=2sinBcosC，就是sinBcosC－cosBsinC=0，即sin(B－C)=0，从而B=C，即b=c。
另外，(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=3bsinC，(a＋b＋c)(b＋c－a)=3bc，展开，得：(b＋c)²－a²=3bc，b²＋c²－a²=bc，从而cosA=[b²＋c²－a²]/(2bc)=1/2，所以B=60°，从而C=60°。此三角形为正三角形。
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