作业帮limn→∞(1+1/n)^n=e (1+1/n)^n表示(1+1/n)的n次方,题目的意思是,证明:当n趋近于∞,(1+1/n)的n次方的极限是e 就是看不太明白啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:24:23
limn→∞(1+1/n)^n=e (1+1/n)^n表示(1+1/n)的n次方,题目的意思是,证明:当n趋近于∞,(1+1/n)的n次方的极限是e 就是看不太明白啊
limn→∞(1+1/n)^n=e
(1+1/n)^n表示(1+1/n)的n次方,题目的意思是,证明:当n趋近于∞,(1+1/n)的n次方的极限是e
就是看不太明白啊
limn→∞(1+1/n)^n=e (1+1/n)^n表示(1+1/n)的n次方,题目的意思是,证明:当n趋近于∞,(1+1/n)的n次方的极限是e 就是看不太明白啊
这个问题很难的
数学专业也一般不会考这个证明的啊
这是个很重要的结论
个人认为一般记住结论就可
当然也要活用
本人就是学数学专业的
不过一般的数学分析书上对这个问题都做了一定的证明
不过想看明白不是一件简单的事情~
楼主这个问题没有意义，因为实数e的定义就是lim（1+1/n)^n
（n趋于无穷）,实际上只需证明该极限存在：
先证
(1)数列（1+1/n)^n单调递增：
由均值不等式，有
(1+1/n)^n
=1*(1+1/n)^n
<{[n(1+1/n)+1]/(n+1)}^(n+1)
于是（1）成立
再证
...
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楼主这个问题没有意义，因为实数e的定义就是lim（1+1/n)^n
（n趋于无穷）,实际上只需证明该极限存在：
先证
(1)数列（1+1/n)^n单调递增：
由均值不等式，有
(1+1/n)^n
=1*(1+1/n)^n
<{[n(1+1/n)+1]/(n+1)}^(n+1)
于是（1）成立
再证
（2）数列（1+1/n)^n有界：
(没法打数学符号，凑合看吧）
先把（1+1/n)^n 按二项式定理展开，对于k=0,1,2...n
各项依次为
n!/[k!(n-k)!(n^k)]
=[n(n-1)...(n-k+1)]/[(n-k)!(n^k)]
<1/(n-k)!
于是
（1+1/n)^n
<1+1+1/2!+1/3!+...+1/(n-k)!
<1+1+1/(2^1)+1/(2^2)+...+1/[2^(n-k)]
<3
于是（2）成立
由（1），（2）和单调收敛定理，所论极限存在。
此外，数e还有若干与以上定义等价的定义，若采用其他定义，则楼主的问题是有意义的。
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