作业帮A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.（1）求证直线AB恒过一定圆.（2）求1/OA+1/OB的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 05:26:19
A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.（1）求证直线AB恒过一定圆.（2）求1/OA+1/OB的最小值.
A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.
（1）求证直线AB恒过一定圆.（2）求1/OA+1/OB的最小值.
A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.（1）求证直线AB恒过一定圆.（2）求1/OA+1/OB的最小值.
10几天了都没人答么,那我来回答你吧~
解(1) 设直线 y =kx+m 带入 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ,A(X1,Y1) B(X2,Y2)
→(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2*kmx+a^2(m^2-b^2)=0
OA⊥OB→ x1x2+y1y2=0 → (1+k^2)x1x2 + km(x1+x2) +m^2 = 0
→（1/(a^2k^2+b^2))*[a^2(m^2-b^2)(1+k^2)-2a^2k^2m^2+m^2(a^2k^2+b^2)]=0
→(k^2+1)a^2b^2 = (a^2+b^2)m^2 →m^2/(1+k^2) = a^2b^2/(a^2+b^2)
→所以O点到AB的距离d恒定为 ab/√（a^2+b^2)
(2)先证明 1/OA^2+1/OB^2 为定值
事实上 1/OA^2+1/OB^2 = AB^2/(OA^2*OB^2) = 1/d^2 = (a^2+b^2)/a^2b^2
目前网上流传的答案多半是求1/OA+1/OB的最大值,鲜有最小值.笔者先给出求最大值的方法
1/OA+1/OB = (OA+OB)/OA*OB, 但由三角形OAB的面积公式,有OA*OB = AB* d
1/OA+1/OB = (OA+OB)/[d*√(OA^2+OB^2)]
等价于求 (OA+OB)^2/(OA^2+OB^2) 最值
(OA+OB)^2/(OA^2+OB^2)=[OA^2+OB^2+2OAOB]/(OA^2+OB^2) ≤2(OA^2+OB^2)/(OA^2+OB^2)
(因为 OA^2+OB^2≥2OAOB)
所以 1/OA+1/OB≤√2（a^2+b^2)/ab
现在回到原题,来探求 1/OA+1/OB 最值.笔者的方法是数形结合.1/OA+1/OB≥1/a+1/b
不多说,上图.只希望别被秒删
