作业帮设直线L1:X-2Y-1=0,直线L2 :2X+Y=0,P(1.2).P1.P2分别在直线L1.L2上且关于P点对称,求直线P1.P2的方程.答案是x+3y-7=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:15:22
设直线L1:X-2Y-1=0,直线L2 :2X+Y=0,P(1.2).P1.P2分别在直线L1.L2上且关于P点对称,求直线P1.P2的方程.答案是x+3y-7=0
设直线L1:X-2Y-1=0,直线L2 :2X+Y=0,P(1.2).P1.P2分别在直线L1.L2上且关于P点对称,求直线P1.P2的方程.
答案是x+3y-7=0
设直线L1:X-2Y-1=0,直线L2 :2X+Y=0,P(1.2).P1.P2分别在直线L1.L2上且关于P点对称,求直线P1.P2的方程.答案是x+3y-7=0
注意:对於解几的题目,建议先作图分析.
方法一 (一般方法)
设P1,P2的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2)
且∵P1,P2分别在直线L1,L2上,∴它的坐标,满足方程.
得 (x1) - 2(y1) -1 = 0,2(x2) + (y2) = 0
∵P1,P2关於P点对称,∴P点为P1P2的中点
得 [(x1) + (x2)]/2 = 1,[(y1) + (y2)]/2 = 2 (中点坐标公式)
综合上面,得到四条方程:(x1) - 2(y1) -1 = 0
2(x2) + (y2) = 0
(x1) + (x2) = 2
(y1) + (y2) = 2
联立得P1(17/5,6/5),P2(-7/5,14/5)
P1P2方程:(y - 6/5)/(14/5 - 6/5) = (x - 17/5)/(-7/5 - 17/5)
化简得 x + 3y - 7 = 0
方法二 (特殊法)
设L1与L2的交点为C
从图像,可很快猜测得 三角形 L1CL2为等腰直角三角形 (需证明,颇繁复,可试想想)
则 PC ⊥ P1P2 (关键利用点斜式求P1P2方程)
联立L1,L2的方程,解交点C
x - 2y -1 = 0
2x + y = 0
解得C(1/5,-2/5)
PC斜率:k_PC = (2 + 2/5)/(1 - 1/5) = 3
P1P2斜率:k_P1P2 = -1/k_PC = -1/3 (∵PC ⊥ P1P2,∴k_PC * k_P1P2 = -1)
则P1P2方程:y - 2 = (-1/3) (x - 1) (P1P2过点P,利用点斜式)
化简得 x + 3y - 7 = 0