已知函数f(x)=alnx–x²＋1 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x–y＋b=0 (2)求证:f(x)≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2

已知函数f(x)=alnx–x²＋1 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x–y＋b=0 (2)求证:f(x)≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2
已知函数f(x)=alnx–x²＋1 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x–y＋b=0 (2)求证:f(x)≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2

已知函数f(x)=alnx–x²＋1 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x–y＋b=0 (2)求证:f(x)≤0对任意x＞0恒成立的充要条件是a=2
1) f'(x)=a/x-2x
f'(1)=a-2, f(1)=0
故切线为y=(a-2)(x-1)=(a-2)x-(a-2)
4x-y+b=0改写为y=4x+b
因此有a-2=4, b=-(a-2)
得：a=6, b=-4
2)f(x)的定义域为x>0
充分性：当a=2时,f'(x)=2/x-2x=2(1-x²)/x,得极大值点x=1,f(1)=0, 所以有f(x)0,则有极大值点x=√(a/2),f(√(a/2))=a/2ln(a/2)-a/2+1
记t=a/2, g(t)=tlnt-t+1, 现求g(t)的取值
由g'(t)=lnt=0得t=1为极小值点,g(1)=0, 所以有g(t)>=0, 仅当t=1时取等号.
因此仅当√(a/2)=1时,f(x)的极大值才等于0,(否则此极大值会大于0,与题意不符）
故有a=2.