作业帮线段ax+by+c=0与圆x平方+y平方=9相交与两点M.N,若c的平方=a的平方+b的平方,则OM向量乘以ON向量（O为坐标原点）等于A.-7 B.-14 C.7 D.14
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:21:18
线段ax+by+c=0与圆x平方+y平方=9相交与两点M.N,若c的平方=a的平方+b的平方,则OM向量乘以ON向量（O为坐标原点）等于A.-7 B.-14 C.7 D.14
线段ax+by+c=0与圆x平方+y平方=9相交与两点M.N,若c的平方=a的平方+b的平方,则OM向量乘以ON向量（O为坐标原点）等于
A.-7 B.-14 C.7 D.14
线段ax+by+c=0与圆x平方+y平方=9相交与两点M.N,若c的平方=a的平方+b的平方,则OM向量乘以ON向量（O为坐标原点）等于A.-7 B.-14 C.7 D.14
圆x平方+y平方=9的圆心为（0,0）,半径为3.
该圆到直线ax+by+c=0的距离为d=|c|/(a^2+b^2),
因为c的平方=a的平方+b的平方,所以距离d=1.
所以弦MN的长为|MN|=2√(3^2-1^2)=4√2.
Cos∠MON=(3^2+3^2-(4√2)^2)/(2*3*3)=-7/9.
OM向量乘以ON向量=|OM|*|ON|* Cos∠MON
=3*3*(-7/9)=-7.
选A.
设M(x1,y1) N(x2,y2)
将y=-(ax+c)/b代入x平方+y平方=9
化为c²x²+2acx+c²-9b²=0
则由韦达定理x1*x2=(c²-9b²)/c²
同理将x=-(by+c)/a代入圆方程
得到y1*y2=(c²-9a²)c²
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设M(x1,y1) N(x2,y2)
将y=-(ax+c)/b代入x平方+y平方=9
化为c²x²+2acx+c²-9b²=0
则由韦达定理x1*x2=(c²-9b²)/c²
同理将x=-(by+c)/a代入圆方程
得到y1*y2=(c²-9a²)c²
所以OM向量乘以ON向量
=x1*x2+y1*y2
=(c²-9b²)/c²+(c²-9a²)c²
=2-9(a²+b²)/c²
=2-9
=-7
所以选A
收起