作业帮一道椭圆的几何题求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1最小外切平行四边形面积能不能纯几何法解?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:17:03
一道椭圆的几何题求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1最小外切平行四边形面积能不能纯几何法解?
一道椭圆的几何题
求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1最小外切平行四边形面积
能不能纯几何法解?
一道椭圆的几何题求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1最小外切平行四边形面积能不能纯几何法解?
我认为可以,但是过程的分段结论还是需要代入证明
几何是图形分析
我不画图,你按下面的思路去画去解
1:画一条椭圆的外切直线MQN,Q是切点 (为了证明不是特殊,本意在于任意画一条,并不和坐标轴垂直或平行)
2:在MQ段内取点F,并做EF和椭圆相切于E
3:做GH//EF是NQ一侧的椭圆切线,切点G 交点H
4:同时做E'F'和G'H'也是切线并⊥MN
证明矩形E'F'H'G'面积 和EFGH的面积关系(这需要用到代数)
当然我没时间去证明,结论可能是
A:小于
B:相等
5:由于MN的任意性,即证明对于任何MN的角度,都具有4的结论
6旋转MN,使得M'N'⊥X轴 或M'N'⊥Y轴,
证明旋转后的E''F''G''H''面积小于或等于E'F'G'H'
7:得到结论,
A:如果4结论是小于,那么此法得到的外切平行四边形是矩形,面积4ab
如果4结论是相等,那么此法得到的外切的平行四边形可以是任意角度,面积等于是矩形也是4ab
结论就是4ab
其它方法做平行四边形,也可证总是大于此值
直观的观察是上下对称,左右不对称,或上下对称,左右不对称的情况
S A1B1A2B2=0.5A1A2*B1B2=0.5*2a*2b
S B1F1B2F2=0.5F1F2*B1B2=0.5*2c*2b
S A1B1A2B2=2S B1F1B2F2 ==>
0.5*2a*2b=2c*2b ==>
a=2c .....(1)
|A1BA1|^2=a^2+b^2=7 .....(2)
a^2=b^2+c^2 ....
全部展开
S A1B1A2B2=0.5A1A2*B1B2=0.5*2a*2b
S B1F1B2F2=0.5F1F2*B1B2=0.5*2c*2b
S A1B1A2B2=2S B1F1B2F2 ==>
0.5*2a*2b=2c*2b ==>
a=2c .....(1)
|A1BA1|^2=a^2+b^2=7 .....(2)
a^2=b^2+c^2 .....(3)
(1)(2)(3)联立解得
a^2=4
b^2=3
c^2=1
综上可得椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
其实可以纯几何法解，但我不太熟练
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