作业帮求积分∫（根号（x^2+1))dx以及∫（根号（f'(x)^2+1))dx,其中f'(x)是f(x)的导数f(x)是任意函数，可以只求其中一个就够了~我个人觉得第二个无解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:51:19
求积分∫（根号（x^2+1))dx以及∫（根号（f'(x)^2+1))dx,其中f'(x)是f(x)的导数f(x)是任意函数，可以只求其中一个就够了~我个人觉得第二个无解
求积分∫（根号（x^2+1))dx以及∫（根号（f'(x)^2+1))dx,其中f'(x)是f(x)的导数
f(x)是任意函数，可以只求其中一个就够了~我个人觉得第二个无解
求积分∫（根号（x^2+1))dx以及∫（根号（f'(x)^2+1))dx,其中f'(x)是f(x)的导数f(x)是任意函数，可以只求其中一个就够了~我个人觉得第二个无解
先设x=tant 那么dx=sect^2dt 原式可以改写为∫根号（1+tant^2）sectdt =∫sect*sect^2dt
设u=sect,dv=sect^2dt
于是 上式等于sect*tant-∫sect*tant^2dt=sect*tant-∫sect(sect^2-1)dt=sect*tant-∫sect^3dt+∫sectdt=sect*tant+ln|sect+tant|+c(常数)
移项得2∫sect^3dt=sect*tant+ln|sect+tant|+c
所以∫sect*sect^2dt=1/2(sect*tant+ln|sect+tant|)+c
∫sectdt=ln|sect+tant| 这是公式,不会在问我.
1+tant^2=sect^2 这也是公式.得到上面后把他们全都用原来的代回去.
I = ∫ sqrt(1 + x^2) dx
设x = sinh(t)
dx = cosh(t) dt
(cosh t)^2 = 1 + (sinh t)^2,
I = ∫ (cosh t)^2 dt
(cosh t)^2 = 1/2 [ 1 + cosh(2t) ]
sinh(2t) = 2 sinh(t) cosh(t),
I = 1/...
全部展开
I = ∫ sqrt(1 + x^2) dx
设x = sinh(t)
dx = cosh(t) dt
(cosh t)^2 = 1 + (sinh t)^2,
I = ∫ (cosh t)^2 dt
(cosh t)^2 = 1/2 [ 1 + cosh(2t) ]
sinh(2t) = 2 sinh(t) cosh(t),
I = 1/2 [ ∫ dt + ∫ cosh(2t) dt ]
= 1/2 [ t + 1/2 sinh(2t) ]
I = 1/2 [ t + sinh(t) cosh(t) ]
sinh(t)=x
cosh(t)= sqrt(1+(sinh t)^2)=sqrt(1 + x^2)
I = 1/2 [ arcsinh(x)+ x sqrt(1 + x^2) ]
arcsinh(x) = ln[ x + sqrt(1 + x^2) ] (*)
I = 1/2 [ x sqrt(1 + x^2) + ln[ x + sqrt(1 + x^2) ] ] + C
设 f=x^2/2
f'=x
∫（根号（f'(x)^2+1))dx= ∫（根号（x^2+1))dx=I
收起
f(x)是哪个？