作业帮如图,点A是椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点.过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点p,点B在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9,若B点坐标为（0,1),求椭圆方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:32:40
如图,点A是椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点.过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点p,点B在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9,若B点坐标为（0,1),求椭圆方程.
如图,点A是椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点.过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点p,点B在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9,若B点坐标为（0,1),求椭圆方程.
如图,点A是椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点.过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点p,点B在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9,若B点坐标为（0,1),求椭圆方程.
由题,△BPA为等腰直角三角形
∴AB=BP=1+b,AP=√2AB
向量AB*向量AP=|AB|*|AP|*cos45'
=(1+b)^2=9
∴b=2,P(3,1)
将P点坐标代入椭圆方程解得a=2√3
即x^2/12+y^2/4=1
A(0,-b), AP所在直线斜率为1
则其直线方程为：y=x-b
上式代入椭圆方程，求得P点坐标：xp=2a^2b/(a^2+b^2)
yp=b(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
yp=yb=1 则a^2=(b+1)b^2/(b-1) （1）
|AB|=|-b|+1=b+1 |...
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A(0,-b), AP所在直线斜率为1
则其直线方程为：y=x-b
上式代入椭圆方程，求得P点坐标：xp=2a^2b/(a^2+b^2)
yp=b(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
yp=yb=1 则a^2=(b+1)b^2/(b-1) （1）
|AB|=|-b|+1=b+1 |AP|=√2|AB|
AB*AP=|AB|*|AP|cos45=|AB|^2=(b+1)^2=9
b=2, 代入（1）：a^2=12
所求椭圆方程：x^2/12+y^2/4=1
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