作业帮教教我吧 大哥大姐叔叔阿姨已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意X1,X2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).⑴求证：f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数；⑵请写出满足上述条件的函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 22:31:06
教教我吧 大哥大姐叔叔阿姨已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意X1,X2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).⑴求证：f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数；⑵请写出满足上述条件的函数.
教教我吧 大哥大姐叔叔阿姨
已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意X1,X2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
⑴求证：f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数；
⑵请写出满足上述条件的函数.
教教我吧 大哥大姐叔叔阿姨已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意X1,X2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).⑴求证：f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数；⑵请写出满足上述条件的函数.
解这种题目建议你联系学过的知识点,联系一下当初是怎么证明的,就好做的多了.
对于这道题,应该想到的运算,应该是对数运算.
下面讲讲解题的过程.
第一问,首先需要计算f(1)
根据定义式得,f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
下面的计算又两种思路,第一种,是将定义式左移一项,就可以出现负号了.还有一种思路就是凑了,这种方法比较实用,但是初学者不易掌握.分别简单介绍一下.
（一）由于f（x1x2）=f（x1）+f（x2）所以f（x1）=f（x1x2）-f（x2）
那么f（1/x）=f（1）-f（x）=-f（x）
（二）由于f（x1x2）=f（x1）+f（x2）所以f（1）=f（1/x）+f（x）,经过化简,就可以得出结果了.
两种思路的解题过程看起来很相似,但是解题过程中,却是从不同的角度去思考的,希望对你有帮助.
下面是证明偶函数.
偶函数的证明相对要简单许多了.首先按照计算f（1）的方法,分别令x1=-1,x2=-1,就可以得到f（-1）=0
另外,再令x1=-1,x2=x,就可以根据偶函数定义,得出这个函数是偶函数了.
第二问,想一想满足这些条件的函数,首先他大体上应该是一个对数函数,这一点是没有问题的.但是,它还必须是偶函数,在负半轴有定义所以x上就应该加上绝对值,为了满足所以的条件,添加几个参数就ok了,最终的答案应该是
f（x）=b*log(a)|x|
其中b不等于0,a>0且不等于1.
希望对你有帮助.
令x1=x2=1，则可得：
f(1)=f(1)+f(1)
即f(1)=0
再令x1=x，x2=1/x，则可得：
f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)
再令x1=x2=-1，则可得：
f(1)=f(-1)+f(-1)
即f(-1)=0
再令x2=-1，则可得：
f(-x1)=f(x1)+f(-1)...
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令x1=x2=1，则可得：
f(1)=f(1)+f(1)
即f(1)=0
再令x1=x，x2=1/x，则可得：
f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)
再令x1=x2=-1，则可得：
f(1)=f(-1)+f(-1)
即f(-1)=0
再令x2=-1，则可得：
f(-x1)=f(x1)+f(-1)
即f(x)是偶函数
(2)、f(x)=C*ln|x|即满足条件，C为任意常数
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