什么是九点圆?九点圆有什么性质?Don't copy!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 09:32:56

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三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆.通常称这个圆为九点圆（nine-point circle）,或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点,各棱相对于对棱的垂心）的一个特例.当一个顶点被压入所对面的时候,12点的共球就退化为9点共圆.
　九点圆具有许多有趣的性质,例如：　　1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；　　2. 九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点；　　3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；　　4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心,共四个点,每个点都是其它三点组成的三角形的垂心,共4个三角形）共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切. 　　5. 九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线,且HG=2OG,OG=2VG,OH=2OV. 　　九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦. 　　设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘,并令c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3. 　　那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c,(2c2+c1+c3)/4c,(2c3+c1+c2)/4c ).

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