定积分(0到a) ∫x^2*(√[(a - x)/(a + x)] dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 00:16:48

定积分(0到a) ∫x^2*(√[(a - x)/(a + x)] dx
定积分(0到a) ∫x^2*(√[(a - x)/(a + x)] dx

定积分(0到a) ∫x^2*(√[(a - x)/(a + x)] dx
令x = asinz,dx = acosz
x = 0 => z = 0
x = a => sinz = 1 => z = π/2
∫(0→a) x²√[(a - x)/(a + x)] dx
= ∫(0→a) x² * [√(a - x)√(a - x)]/[√(a + x)√(a - x)] dx
= ∫(0→a) x² * (a - x)/√(a² - x²) dx
= ∫(0→π/2) (asinz)²(a - asinz)/(acosz) * (acosz dz)
= ∫(0→π/2) (a³sin²z)(1 - sinz) dz
= a³∫(0→π/2) sin²z dz - a³∫(0→π/2) sin³z dz
= (a³/2)∫(0→π/2) (1 - cos2z) dz - a³∫(0→π/2) (cos²z - 1) d(cosz)
= (a³/2)[z - (1/2)sin2z] |(0→π/2) - a³[(1/3)cos³z - cosz] |(0→π/2)
= (a³/2)(π/2) - a³[((1/3)(- 1) - (- 1)) - ((1/3)(1) - 1)]
= a³(π - 4a)/4

利用换元法，令x=asiny，则0原式=(0到π) ∫(asiny)^2·acosy·d(asiny)
=(0到π)a^4·∫(siny)^2·(cosy)^2·dy
=(0到π)(a^4/4)·∫(sin2y)^2·dy
=(0到π)(a^4/8)·∫(1-cos4y)·dy
=(0到π)(a^4/32)·∫(1-cos4y)·d(4y)
=(a^4/32)·(4y-sin4y)|(0到π)
=a^4π/8

定积分(0到a) ∫x^2*(√[(a - x)/(a + x)] dx 求定积分:∫(0到1) ((x^b-x^a)/lnx)dx (b>a>0) 定积分(-a到a)(x-a)*根号下(a^2-x^2)dx定积分问题定积分 ln(x+(a^2+x^2)^(1/2))dx 范围为0到a 计算定积分 ∫( √x^2)dx(a>0)(上限a ,下限-a) 定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ,（a>0）求定积分 ∫[0,√3a] 1/(a^2+x^2) 定积分(a 到b)∫ dlnx 求解一道定积分,用换元法做如∫（-a到a的定积分）（2x+arcsinx+4）dx=4 ,则a=? 定积分从b 到 a 求 d∫ sin(x^2)dx/dx 定积分∫(x^2+a^2) ^ 1/2dx积分上限—a积分下限0 求0到2*pi*a时(1-cos x)^3的定积分定积分0到∏/2 sinxcosx除以x+1=A,如下. 求定积分f(a）=∫（定积分范围是0到1）|x²-a² |dx 定积分（0,a）∫(1/√(a²-x²))dx.（a>0）定积分（0,a）∫(1/√(a²-x²))dx.（a>0）. 定积分∫(a到-a）x^3cos2x/1+x^4dx 求定积分(0-a) ∫x^2*根号下a^2-x^2 dx