作业帮风中蝴蝶135．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由．能不能
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 08:05:28
风中蝴蝶135．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由．能不能
风中蝴蝶135
．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由．
能不能详细一些
风中蝴蝶135．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由．能不能
证：在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1,a2,a3,…,a18,a19(图11),显然a1=1,而a2,a3,…,a18,a19就是2,3,4,5,6,…,18,19的一个排列
令A1=a2+a3+a4
A2=a5+a6+a7
A3=a8+a9+a10
A4=a11+a12+a13
A5=a14+a15+a16
A7=a17+a18+a19
则A1+A2+A3+A4+A5+A6
=a2+a3+a4+…+a17+a18+a19
=2+3+4+…+17+18+19
=189
如果A1,A2,A3,A4,A5,A6中每一个都≤31,则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31=186,与(*)式矛盾．所以A1,A2,A3,A4,A5,A6中至少有一个大于31．为确定起见,不妨就是A1＞31,即a2+a3+a4＞31,但a2+a3+a4是整数,所以必有a2+a3+a4≥32成立．即一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32．
说明：本试题来源于一道常见的试题,“将1,2,3,4,…,17,18,19这19个自然数任意排成一圈,必定能找到相邻的3个自然数,它们之和不小于30．”
其证法是,设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a1,a2,…,a18,a19（图12）,则
A1=a1+a2+a3
A2=a2+a3+a4
A3=a3+a4+a5
A4=a4+a5+a6
……
A17=a17+a18+a19
A18=a18+a19+a1
A19=a19+a1+a2
相加得A1+A2+…+A18+A19
=3(a1+a2+…+a18+a19)
=3×(1+2+3+4+…+17+18+19)
=570
若A1,A2,…,A18,A19这19个自然数都小于30,则A1+A2+…+A18+A19＜19×30=570与(*)式矛盾．所以A1,A2,…,A18,A19中至少有一个不小于30．为确定起见,不妨设A1≥30,即a1+a2+a3≥30,即一定有顺相邻的3个数,其和不小于30．
但在写数排圈试验中不难发现,总会找到相邻3个数之和大于30,这表明30这个限不是最好的,我们可以改进到32．要达到这个结果,其一,找三数组的个数减小,平均值可能增大,原来找出19个数三数组,现在我们找出6个,且互不重复,这样,其用到19个中的18个数,显然有一个数没用在三数组中,这个数只有取a1=1时,才能使其余18个数之和尽可能大．以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处理的综合能力．克报困难意识强,遇事思维开阔的学生,处理本题的能力会表现突出一些．