作业帮过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:19:48
过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
过抛物线y^2=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
准线与对称轴的交点为（-1,0）,焦点P为(1,0)
设直线为y=k（x+1）,M（x1,y1）,N（x2,y2)
以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,则向量PM*向量PN=0
（x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0（*）
联立y^2=4x,y=k（x+1）,得
k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0,ky^2-4y+4k=0
由维达定理,得
x1x2=1,x1+x2=(4-k^2)/k^2,y1y2=4
代入（*）
得1+(4-k^2)/k^2+1+4=0
化简得k^2=1/2
k=根号2/2或-根号2/2
所以倾斜角为45度或135度
准线与对称轴的交点为（-1，0），焦点P为(1,0)
设直线为y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2)
以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,则向量PM·向量PN=0
（x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0（*）
联立y^2=4x，y=k（x+1），得
k^2x^2+(2k^2-4)x+k^...
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准线与对称轴的交点为（-1，0），焦点P为(1,0)
设直线为y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2)
以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,则向量PM·向量PN=0
（x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0（*）
联立y^2=4x，y=k（x+1），得
k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0,ky^2-4y+4k=0
由维达定理，得
x1x2=1，x1+x2=(4-k^2)/k^2,y1y2=4
代入（*）
得1+(4-k^2)/k^2+1+4=0
化简得k^2=1/2
k=根号2/2或，-根号2/2
所以倾斜角为arctan根号2/2,或∏-arctan根号2/2
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