作业帮博弈论,求大神某小镇有N个居民(N>2),每个居民有100元,有人建议所有的人都可以自愿投资一个基金,这个基金在所有居民中平均分摊.如果共有F被投资到基金中,那么当地政府就会资助等额资金,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:53:56
博弈论,求大神某小镇有N个居民(N>2),每个居民有100元,有人建议所有的人都可以自愿投资一个基金,这个基金在所有居民中平均分摊.如果共有F被投资到基金中,那么当地政府就会资助等额资金,
博弈论,求大神
某小镇有N个居民(N>2),每个居民有100元,有人建议所有的人都可以自愿投资一个基金,这个基金在所有居民中平均分摊.如果共有F被投资到基金中,那么当地政府就会资助等额资金,使基金总额为2F,那就是说,当基金被分摊时,每个居民得到2F/N的收益,如果每个居民只关系自己的纯收入,在纳什均衡中,每个人将要投资多少钱?
博弈论,求大神某小镇有N个居民(N>2),每个居民有100元,有人建议所有的人都可以自愿投资一个基金,这个基金在所有居民中平均分摊.如果共有F被投资到基金中,那么当地政府就会资助等额资金,
因为F/N等于平均投入的钱数.参与人1的纯收入为U1（s1,s-1）=2F/N-s1 s1为参与人1投入的金额. 先假设人数无限大,可知,某一个人的策略（投入的金钱）对平均数影响是可以忽略的,我们姑且认为不变.这时我们由U1（s1,s-1）=2F/N-s1 发现,当s1=0的时候他的收益为2F/N是最大的.也就是说,s1=0是他的最佳策略.因为这是一个对称博弈.所以每一个参与人的最佳策略都是0既一分钱也不投.此时,我们可知,所有的参与人出于自己的利益都会选择一分钱也不投.那么此时0是否是最佳对策呢?我们发现当其他的参与人都选择策略0,参与人1选择投入s1时,F=s1,此时U1=2F/N-s1 因为我们假设了N无限大,所以此时2F/N=0 所以U1=-s1也就是说他投入多少亏损多少,此时最佳对策,仍然是选择一分钱也不投.于是我们发现所有 参与人都投资0元,此时这个策略互为最佳对策.用严谨一点的表述就是因为Ui（si,s-i）=2F/N-si 当si=0时Ui最大.既si=0=BR（s-i）且对任意参与人i成立.所以策略0是该博弈当参与人无限大时候的纳什均衡.
注意到,我只给除了参与人无穷大时证明过程的说明,可是当参与人并不多的时候呢?
你应该想到此时参与人i的策略si对平均数的影响也会很大了,鉴于此,我给出严格的数学证明,上述用于数学不好的朋友学习.
Ui（si,s-i）=[（F-si）+si ]×2/N-si=2(F+si)/n+2si/n-si 因为N＞2,所以2si/n-si≤0
所以当si=0时Ui（si,s-i）=[（F-si）+si ]×2/N 为参与人i的最大收益,
因为该博弈是对称的,所以i可以属于任意参与人.由此可知,该博弈纳什均衡为每个参与人投资0元.