已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H.求证四边形EFGH是正方形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 04:55:33

已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H.求证四边形EFGH是正方形
已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H.求证四边形EFGH是正方形

1、这个题目看起来是一个很简单的题目,其实要严格证明,却不简单.这里面有一个不太容易引起人们注意的陷阱,即多边形EFGH是四边形,也就是说要证明E、A、H在同一条直线上,H、D、G在同一条直线上,G、C、F在同一条直线上,F、B、E在同一条直线上.显然楼上几位都没考虑这点.

2、证明：

□ABCD是矩形,AH、AE、DH是外角平分线,

∴∠1=45°,∠2=45°,∠3=45°,∠BAD=90°

∴∠1+∠2+∠BAD=180,∠2=∠3=45°

∴E、A、H在同一条直线上,△HAD为等腰直角三角形,

∴∠H=90°,HA=HD=√2/2AD,

同理,H、D、G在同一条直线上,G、C、F在同一条直线上,F、B、E在同一条直线上,

∠E=90°,EA=EB=√2/2AB,

∠F=90°,FB=FC=√2/2BC,

∠G=90°,GC=GD=√2/2CD,

□EFGH是矩形,

又∵EF=EB+FB,

FG=FC+GC,

GH=GD+HD,

HE=HA+EA,

由□ABCD是矩形,得AB=CD,AB=BC,

故EF=FG=GH=HE,

□EFGH是正方形.

3、以前做过的有陷阱的题目,提供给你参考,希望对你有帮助.

这种题目都是看似简单,实际不简单的题目.经常在竞赛活动中出,不注意很容易丢分.

因为ABCD是矩形，则可知各内角都是90度。则外角也是90度。而外角平分后是45度，因此可得出三角形AHD是等腰三角形，同理证得EFGH的各角都是90度。从而证明EFGH是矩形。
已经证明了AHD是等腰三角形，因此AH=HD，同理DG=GC，CF=FB,BE=EA，又因为AD=BC,AB=DC,怎可证得AH=HD=BF=FC,DG=GC=BE=EA，最终证得EA+AH=HD+DG=GC+C...

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根据图中的直角，可以确定EFGH是4个直角，所以先确定EFGH是矩形，根据外角平分线，可以确定AH=DH=BF=CF=a
AE=BE=DG=CG=b，所以四条边都是相等,都等于a+b,所以矩形EFGH是正方形