作业帮f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立如题,以证明 f(x)=x对于 有理数成立,但现在不知道怎么证明它对无理数成立.以=已忘说了，这个函数是连续的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 08:21:53
f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立如题,以证明 f(x)=x对于 有理数成立,但现在不知道怎么证明它对无理数成立.以=已忘说了，这个函数是连续的
f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立
如题,
以证明 f(x)=x对于 有理数成立,但现在不知道怎么证明它对无理数成立.
以=已
忘说了，这个函数是连续的
f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立如题,以证明 f(x)=x对于 有理数成立,但现在不知道怎么证明它对无理数成立.以=已忘说了，这个函数是连续的
这就是柯西方程,既然已经连续,可以用高等数学来做就好
证明,由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))=f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
=>f(x)=kx+b
=>f(x+y)=f(x)+f(y)=>k(x+y)+b=k(x+y)+2b=>b=0
f(xy)=f(x)*f(y)=>看kxy=k^2xy(对任意x,y成立）=>k^2=k=>k=0或者1
=>f(x)=0或者x
希望能够帮到你,祝好~
用举例法做，不能分开证明，这样很麻烦的。
设a，b均为实数
那么f(a)=a; f(b)=b, f(a+b)=a+b 肯定成立的
因为:f(a+b)=f(a)+f(b); f(a*b)=f(a)*f(b) 都成立，
所以f（x）=x对所有实数都成立。
f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)
f(x)=0或f(1)=1
讨论，若f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件；
若f(x)=0对一切实数不恒成立，则f(1)=1
有理数的情况容易证明，无理数的确不好证。不过是否可以假定函数是连续的？
不管怎么说，这题目的结论是错误的，因为f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件函数连续，那之后呢？...
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f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)
f(x)=0或f(1)=1
讨论，若f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件；
若f(x)=0对一切实数不恒成立，则f(1)=1
有理数的情况容易证明，无理数的确不好证。不过是否可以假定函数是连续的？
不管怎么说，这题目的结论是错误的，因为f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件
收起
这个题目本来是要求f(x)为非常数函数。
证明方法叫柯西方法，从正整数到负整数，从正分数到负分数，这样就证完有理数了，无理数是用极限来做的。
有理部分比较简单，不打了。
对于任意无理数x，构造收敛于x的有理数列{An}
f(An)=An
令n→∞时,An→x
就有f(x)=x。
这些都是高三甚至大学的东西，不理解的地方追问吧。等着你的回复 ：...
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这个题目本来是要求f(x)为非常数函数。
证明方法叫柯西方法，从正整数到负整数，从正分数到负分数，这样就证完有理数了，无理数是用极限来做的。
有理部分比较简单，不打了。
对于任意无理数x，构造收敛于x的有理数列{An}
f(An)=An
令n→∞时,An→x
就有f(x)=x。
这些都是高三甚至大学的东西，不理解的地方追问吧。
收起
令x=y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=0
令x=-y代入f(x+y)=f(x)+f(y),得
0=f(x)+f(-x)
即f(x)是奇函数
令x=y=1代入f(xy)=f(x)*f(y)得f(1)=1
令y=1代入f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(x+1)=f(x)+1
所以f(x)是线性函数
根据f(0)=0,f(1)=1得f(x)=x