已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 13:31:08
已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE

已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE

已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
证明:
连接AD,过点F作FG⊥BC于点G,过点E作EH⊥BC于点H,作EK⊥AD于点K.
设BD=DC=a,AD=h,AB=AC=t
则有t²=a²+h²
因为SΔADC= DC•AD /2=ah/2
SΔADC= AC•DF /2=tDF/2
所以有ah/2= tDF/2
从而DF=ah/t
易证ΔDGF∽ΔADC
从而FG/DF=CD/AC,DG/DF=AD/AC
从而FG=DF•CD/AC= a²h/t²
DG=DF•AD/AC= ah²/t²
进而EH=FG/2= a²h/2t²,
KE=DH=DG/2= ah²/2t²
于是在直角三角形BGF和直角三角形AKE中,
FG/BG=FG/(BD+DG)=(a²h/t²)/〔a+( ah²/t²)〕=ah/(t²+h²)
EK/AK=EK/(AD-KD)= EK/(AD-EH)=( ah²/2t²)/〔h-(a²h/2t²)〕=ah/(2t²-a²)=ah/(t²+h²)
从而ΔBGF∽ΔAKE(或tan∠GBF= tan∠KAE)
从而∠GBF=∠KAE
设AD与BF的交点为M,AE与BF的交点为N,则有
∠ANM=180°-∠NAM-∠AMN=180°-∠EAK-∠AMN=180°-∠GBF-∠BMD=∠BDA=90°
即BF⊥AE
证完.

取CF的中点G,连接DG,DA

∵D是BC的中点,AB = AC

∴AD⊥BC

∵DF⊥AC

∴∠DAF = ∠FDC

∴△DAF∽△DFC

∴AF:DF = DF:CF

∵E是DF的中点,G是FC的中点

∴AF:DF = EF:FG

∴△AFE∽△DFG

∴∠FAE = ∠FDG

∵G是FC的中点

∴在△CBF中,DG//BF

∴∠GDF = ∠BFD

∴∠FAE = ∠BFD

∵AF⊥DF

∴∠FAE + ∠FEA = 90°

∴∠BFD + ∠FEA = 90°

∴AE⊥BF

dd

已知:在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AB于F,P为BC边中点,求证:PE=PF已知:在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,P为BC边中点,,求证:PE=PF 已知在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,CE//AB,BE交AD,AC于F,G.求证:BF2=FG ·FE 已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的园交BC于D交AC于E.求证:弧BD=弧DE 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,ED⊥AB,垂足为D,已知△BCE的周长为9,且AC-BC=1.求AB,BC的长. 如在,在△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于点D.已知△BCE的周长为8,AC-BC=2.求AB于BC的长如在,在△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E, 交AB于点D.已知△BCE的周长为8,AC-BC=2.求AB于BC的长 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE垂直AB.交AC于E.已知△BCE的周长为8,且AC-BC=2求AB、BC的长. 如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE垂直AB.交AC于E.已知△BCE的周长为8,且AC-BC=2求AB BC长 如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE垂直AB.交AC于E.已知△BCE的周长为10,且AC-BC=2求AB BC 已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE 如下图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的一点, 如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线角AB于点D,交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线角AB于点D,交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,ED⊥AB,垂足为D,已知△BCE的周长为9,且AB-BC=1求AB,BC的长. 已知在△ABC中,AB=2AC,D为AB边中点,E为AD中点,求证:CE=1/2BC.今天就要. 已知,在△ABC中,AB=2AC,D为AB中点,E为AD中点,求BC=2CE 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交于点D,交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的长. 已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,M,N在AC,BC上,且AM=CN已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,M、N在AC、BC上,且AM=CN求证:△DMN是等腰直角三角形 如图已知△ABC中.AB=AC.D为BC中点求证△ABC≌ACD 已知在△ABC中,AB=2,AC=1,若D为BC的中点,则向量AD*向量BC=