作业帮请问如何用数学归纳法证明 < n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 04:29:52
请问如何用数学归纳法证明 < n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)?
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(1)当n=2时,2!=2×1=2 、2²=4 、原式成立.
(2)设n=k时,k!
n！< n^ n，( n ≥2 )
证明，令S=n! - n^n ( n ≥2 )
数学归纳法
1，当n=2时，S=2!-2^2=2-4=-2<0
2，设n=m时，S=m!-m^m< 0成立
3，当n=m+1时，
S=(m+1)!-(m+1)^(m+1)
=m!*(m+1)-(m+1)*(m+1)^m
=(m+1)[m!*-(m+1)...
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n！< n^ n，( n ≥2 )
证明，令S=n! - n^n ( n ≥2 )
数学归纳法
1，当n=2时，S=2!-2^2=2-4=-2<0
2，设n=m时，S=m!-m^m< 0成立
3，当n=m+1时，
S=(m+1)!-(m+1)^(m+1)
=m!*(m+1)-(m+1)*(m+1)^m
=(m+1)[m!*-(m+1)^m]
因为，m≥2（已知）
所以：
(m+1)^m＞m^m，m!*-(m+1)^m＜m!*-m^m< 0……a
m+1＞0……b
由a，b知：S< 0
综合1,2,3得：S=n! - n^n < 0，
即：n！< n^ n，( n ≥2 )
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