是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 14:26:47

是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.
是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.

是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.
2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛标准答案：
存在满足条件的三角形
当 △ABC 的三边长分别为 a＝6,b＝4,c＝5时,∠A＝2∠B
如图,当∠A＝2∠B时,延长BA至点D,使AD＝AC＝b,连结CD,则△ACD为等腰三角形
∵∠BAC为△ACD的一个外角,∴∠BAC＝2∠D
由已知∠BAC＝2∠B,则∠B＝∠D
∴△CBD为等腰三角形
又∠D为△ACD与△CBD 的一个公共角,∴△ACD∽△CBD
于是AD/CD＝CD/BD,即b/a＝a/(b＋c)
∴a²＝b(b＋c)
∵6²＝4(4＋5),∴此三角形满足题设条件
故存在满足条件的三角形
说明：满足条件的三角形不是唯一的
若∠A＝2∠B,得a²＝b(b＋c),有以下三种情形：
（1）当a＞c＞b时,设a＝n＋1,c＝n,b＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c),得(n＋1)²＝(n－1)(2n－1)
解得n＝5
∴a＝6,b＝4,c＝5
（2）当c＞a＞b时,设c＝n＋1,a＝n,b＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c),得n²＝2n(n－1)
解得n＝2
∴a＝2,b＝1,c＝3,此时不能构成三角形
（3）当a＞b＞c时,设a＝n＋1,b＝n,c＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c),得(n＋1)²＝n(2n－1)
即n²－3n－1＝0,此方程无整数解
所以,三边长恰为三个连续的整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件