作业帮已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b）求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:43:31
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b）求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b）求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
已知a,b是两个正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,P=2/(1/a+1/b）求证A≥G≥P.A=a+b/2 G=根号ab 均值不等式 A≥G 后面的G≥P怎么证
a+b=2A
ab=G²
P=2/(1/a+1/b)
P=2/(1/a+1/b)
≤2/2√(1/ab)
=√(ab)
得证
G≥P其实也是基本不等式，
调和平均数Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
证：已知：A=(a+b)/2，G=√ab，P=2/(1/a+1/b)
因为：
(√a-√b)^2≥0
a-2(√a)(√b)+b≥0
a+b≥2√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
即：A≥G
P=2/(1/a+1/b)
P=2ab/(a+b)
P=ab/[(a+b)/2]
P=(G^2)/A
G^2=PA<...
全部展开
证：已知：A=(a+b)/2，G=√ab，P=2/(1/a+1/b)
因为：
(√a-√b)^2≥0
a-2(√a)(√b)+b≥0
a+b≥2√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
即：A≥G
P=2/(1/a+1/b)
P=2ab/(a+b)
P=ab/[(a+b)/2]
P=(G^2)/A
G^2=PA
G^2≥PG（因为A≥G）
G≥P
因此，有：A≥G≥P
证毕。
收起
把P化简，P＝2ab/（a+b），由 a+b≥ √ （ab）得1≥2 √ （ab）/（a+b），两边同乘 √ （ab）得 √ （ab）≥2ab/（a+b），即G≥P