设S(x)=∑(n=0到+∞)e^(-nx)/n,x属于(0,+∞).证明S(x)在(0,+∞)上连续,可微并求出S(x)的具体表达式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 21:29:07
设S(x)=∑(n=0到+∞)e^(-nx)/n,x属于(0,+∞).证明S(x)在(0,+∞)上连续,可微并求出S(x)的具体表达式
设S(x)=∑(n=0到+∞)e^(-nx)/n,x属于(0,+∞).证明S(x)在(0,+∞)上连续,可微
并求出S(x)的具体表达式
设S(x)=∑(n=0到+∞)e^(-nx)/n,x属于(0,+∞).证明S(x)在(0,+∞)上连续,可微并求出S(x)的具体表达式
n=0不行,n从1起
lim[e^(-nx-x)/(n+1)]/[e^(-nx)/n]=e^(-x),当x>0时,级数绝对收敛
故在(0,+∞)上连续,可微
S(x)=∑(n=1到+∞)e^(-nx)/n
=e^(-x)+e^(-2x)/2+e^(-3x)/3+.
S‘(x)=-e^(-x)-e^(-2x)-e^(-3x)+.= -e^(-x)/(1-e^(-x)),积分得:
S(x)=-∫e^(-x)/(1-e^(-x)) dx=-ln(1-e^(-x))+c
Sn(X)=∑(k=1到n)e^(-kx)/k,只需要证明Sn(x)在任意的[Δ,+∞)一致收敛,其中Δ>0,则S(x)在[Δ,+∞)连续。我们可以证明着函数列满足李普希兹条件|Sn(x)-Sn(y)|
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Sn(X)=∑(k=1到n)e^(-kx)/k,只需要证明Sn(x)在任意的[Δ,+∞)一致收敛,其中Δ>0,则S(x)在[Δ,+∞)连续。我们可以证明着函数列满足李普希兹条件|Sn(x)-Sn(y)|
对于可微,可以比照这个做,方法一样,对求导后的函数列做同样的事情
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