作业帮等边三角形ABC,P是△ABC上一点PA=2,PB=二倍根号三PC=4求△ABC的边长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:29:04
等边三角形ABC,P是△ABC上一点PA=2,PB=二倍根号三PC=4求△ABC的边长
等边三角形ABC,P是△ABC上一点PA=2,PB=二倍根号三PC=4求△ABC的边长
等边三角形ABC,P是△ABC上一点PA=2,PB=二倍根号三PC=4求△ABC的边长
作等边三角形BPD,使D、C在直线AB的两侧.再过A作AE⊥BP交BP的延长线于E.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝CB、∠ABC＝60°.
∵△BPD是等边三角形,∴BD＝BP＝DP＝2√3、∠DBP＝∠BPD＝60°.
由∠DBP＝∠ABC＝60°,得：∠ABD＋∠ABP＝∠CBP＋∠ABP,∴∠ABD＝∠CBP.
由AB＝CB、BD＝BP、∠ABD＝∠CBP,得：△ABD≌△CBP,∴AD＝PC＝4.
由AD＝4、DP＝2√3、PA＝2,得：AD^2＝DP^2＋PA^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：∠APD＝90°,又∠BPD＝60°,∴∠APB＝150°,∴∠APE＝30°.
∵∠APE＝30°、PA＝2,∴AE＝1、PE＝√3,∴BE＝PB＋BE＝2√3＋√3＝3√3.
由勾股定理,得：AB＝√（BE^2＋AE^2）＝√（27＋1）＝2√7.
注：AB还可以由余弦定理求出.即：AB＝√（PB^2＋PA^2－2PA×PBcos∠APB）.
以A为中心将三角形APB旋转到AB边与AC边重合设P旋转到P’点
则AP=2 AP’=2 ∠PAP’=60°=>△APP’为正三角形所以∠AP’P=60°
△PP'C为边长分别为2，4，2根号3的三角形
（2根号3）²+2²=4²=>∠PP'C=90°∠CPP’=60°
所以∠CPA=60°+60°=120°
∠APB=∠A...
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以A为中心将三角形APB旋转到AB边与AC边重合设P旋转到P’点
则AP=2 AP’=2 ∠PAP’=60°=>△APP’为正三角形所以∠AP’P=60°
△PP'C为边长分别为2，4，2根号3的三角形
（2根号3）²+2²=4²=>∠PP'C=90°∠CPP’=60°
所以∠CPA=60°+60°=120°
∠APB=∠AP'C=60°+90°=150°
所以∠CPB=360°-120°-150°=90°
所以BC=根号（（2根号3）²+4²）=2根号7
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