一道高数题：xy'+y=xlnx的通解?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 16:49:26

一道高数题：xy'+y=xlnx的通解?
一道高数题：xy'+y=xlnx的通解?

一道高数题：xy'+y=xlnx的通解?
一种方法是看作一阶非齐次线性微分方程,套用通解公式
另外一种方法看作全微分方程
简单做法：
xy'＋y＝(xy)',xlnx的一个原函数的1/2×x^2lnx－1/4×x^2
所以,方程化为(xy)'＝(1/2×x^2lnx－1/4×x^2)'
所以通解是xy＝1/2×x^2lnx－1/4×x^2＋C或y＝1/2×xlnx－1/4×x＋C/x

先求齐次方程的通解 xy'+y = 0
可得y = C/x(这个会求吧~~), 其中C为常数
利用常数变异法有原方程的通解为y = C(x)/x
带入xy'+y = xlnx
有x（-C(x)/x^2 +C'(x)/x）+C(x)/x = xlnx
化解得 C’(x) = xlnx
C（x） = xlnx的积分 + C1
变量替换lnx = ...

全部展开

先求齐次方程的通解 xy'+y = 0
可得y = C/x(这个会求吧~~), 其中C为常数
利用常数变异法有原方程的通解为y = C(x)/x
带入xy'+y = xlnx
有x（-C(x)/x^2 +C'(x)/x）+C(x)/x = xlnx
化解得 C’(x) = xlnx
C（x） = xlnx的积分 + C1
变量替换lnx = t
可以很好求的积分 = 1/2te^2t - 1/4e^2t +C1
然后再替换回x
可以求得最终结果
具体你求一下吧

收起

(xy)' =xy'+y =xlnx
把xy看做整体接下来用分部积分

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