作业帮设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 11:47:34
![设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.](/uploads/image/z/5256120-48-0.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8EG%28x%29%3D%E2%88%AB%EF%BC%88%E4%B8%8Ax%E4%B8%8B0%EF%BC%89%5B2f%28t%EF%BC%89-%E2%88%AB%28%E4%B8%8At%2B2%E4%B8%8Bt%29f%28s%29ds%5Ddt%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0.)
设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
G(x)=∫(0,x)[2f(t)-∫(t,t+2)f(s)ds]dt
证明:
因为f(x)是周期为2的连续函数,f(x)=f(x+2)
又∫(t,t+2)f(s)ds=∫(t,2)f(s)ds+∫(2,t+2)f(s)ds
令s-2=v,ds=dv,则∫(2,t+2)f(s)ds=∫(0,t)f(v+2)dv=∫(0,t)f(v)dv=∫(0,t)f(s)ds
从而∫(t,t+2)f(s)ds=∫(0,t)f(s)ds+∫(t,2)f(s)ds=∫(0,2)f(s)ds=k（记）
那么G(x)=∫(0,x)[2f(t)-∫(t,t+2)f(s)ds]dt=∫(0,x)[2f(t)-k]dt
而G(x+2)=∫(0,x+2)[2f(t)-k]dt
令t-2=u,dt=du
则G(x+2)=∫(0,x+2)[2f(t)-k]dt=∫(0,x)[2f(u+2)-k]du+∫(x,x+2)[2f(u+2)-k]du
=∫(0,x)[2f(u)-k]du+∫(x,x+2)[2f(u)-k]du
注意到∫(x,x+2)[2f(u)-k]du=∫(x,2)[2f(u)-k]du+∫(2,x+2)[2f(u)-k]du
再令u-2=r,du=dr,∫(2,x+2)[2f(u)-k]du=∫(0,x)[2f(r+2)-k]dr=∫(0,x)[2f(u)-k]du
于是∫(x,x+2)[2f(u)-k]du=∫(0,2)[2f(u)-k]du=2∫(0,2)f(u)du-2k=2k-2k=0
因此G(x+2)=∫(0,x)[2f(u)-k]du=∫(0,x)[2f(t)-k]dt=G(x)
即G(x+2)=G(x)命题得证.