a,b是正实数,则(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2的最小值是 rt

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 13:29:53
a,b是正实数,则(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2的最小值是 rt

a,b是正实数,则(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2的最小值是 rt
a,b是正实数,则(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2的最小值是
rt

a,b是正实数,则(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2的最小值是 rt
由均值不等式(a+b)^2≥4ab
(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2≥4*2a*(1/b)+4*2b*(1/a)=8(a/b+b/a)≥16
最小值当2ab=1,a^2=b^2
即a=b=(√2)/2时达到

原式≥2「(2a+1/b)(2b+1/a)」开平方
=2倍根号(4ab+4+1/ab)
≥2倍根号(4+2倍根号4ab*1/ab)=4倍根号2

因为a,b是正实数,所以(2a+1/b)^2+(2b+1/a)^2大于或等于2(2a+1/b)(2b+1/a)等于8ab+1/ab +8大于或等于2根号8ab乘以1/ab再+8等于4根号2+8。
所以最小值为4根号2+8,当且仅当ab=1/2时,等号成立!