作业帮已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:21:34
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
①充分性
当a=1时,f（x）=x-1-lnx,f'（x）=1-1 x =x-1 x∴当x＞1时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（1,+∞）上是增函数,
当0＜x＜1时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,1）上是减函数,
∴f（x）≥f（1）=0
②必要性
f'（x）=1-a x =x-a x ,其中x＞0
（i）当a≤0时,f'（x）＞0恒成立,所以函数f（x）在（0,+∞）上是增函数
而f（1）=0,所以当x∈（0,1）时,f（x）＜0,与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时,∵x＞a时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（a,+∞）上是增函数；
0＜x＜a时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0,所以当a≠1时,f（a）＜f（1）=0,此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述,f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
对f(x)求导，可得f‘(x)=1-a/x
可知，当x=a时可取最小值（可有f’(x)的取值变化得知）。
所以f(a)最小值为a-1-alna，只要最小值≥0恒成立，那么f(x)≥0恒成立。
再由f(a)对a求导，则有f‘(a)=-lna，所以a=1时又可取最小值，f(a)最小值为0.
所以，可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1....
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对f(x)求导，可得f‘(x)=1-a/x
可知，当x=a时可取最小值（可有f’(x)的取值变化得知）。
所以f(a)最小值为a-1-alna，只要最小值≥0恒成立，那么f(x)≥0恒成立。
再由f(a)对a求导，则有f‘(a)=-lna，所以a=1时又可取最小值，f(a)最小值为0.
所以，可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
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求导，然后求出函数的最小值，使得最小值大于等于0的a的取值即可。不难吧？