什么是零点分段法?什么是绝对值的意义?什么是高斯算法?什么是拆项?什么是等差数列通向公式?为什么有些式子里有感叹号?

什么是零点分段法?什么是绝对值的意义?什么是高斯算法?什么是拆项?什么是等差数列通向公式?为什么有些式子里有感叹号?
什么是零点分段法?
什么是绝对值的意义?
什么是高斯算法?
什么是拆项?
什么是等差数列通向公式?
为什么有些式子里有感叹号?

什么是零点分段法?什么是绝对值的意义?什么是高斯算法?什么是拆项?什么是等差数列通向公式?为什么有些式子里有感叹号?
以这个为例子,|x-3|+2>|2x+1|
——按 x 与 3、 x 与 -1/2 的大小
在数轴上标出 3 和 -1/2 这两个点,把数轴分成几个区间?
在每个区间内,每个“｜｜”里边的式子的值的符号都是确定的,
比如：当 -1/2 ≤ x ＜ 3 时,化成 -(x-3) + 2 > 2x + 1 ,解之得 -1/2 ≤ x ＜ 4/3.
也就是说,原不等式化成3个“不等式组”的并集.
.
——通常,这种方法称为“零点分段法”.
实数绝对值的意义:绝对值在数轴上的几何意义:表示一个数的点离开原点的距离(不考虑方向).2.一个数的绝对值一定是非负数,即|a|≥0;若干个非负数的和为零,则每个非负数为零;互为相反数的绝对值相等,即|a|=|-a|.
高斯小时候非常淘气,一次老师去开会他和同学们闹腾.老师回来后大发雷霆,命令他们全班所有人都开始算1+2+3+4+5+6+……+100的得数.全班只有高斯想出来的（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）……＋（50＋51）…………一共有50个101,所以50·101就是1加到一百的得数.后来人们把这种简便算法称作高斯算法.
就是：（首项+末项）*项数/2
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析：本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验
An=A1+(n-1)d为等差数列通向公式.与高斯算法有密切联系,你可以自己看看.
感叹号就是阶乘的意思
a=a*(1.0/i)这个就是程序中用来表示阶乘的
即n!=1*2*3*...*n

令绝对值里的式子等于0的到的X的值在数轴上分段讨论
距离数轴原点的大小
通项公式是每一项都符合的一个公式 由N不同得不同数值

什么是零点分段法?
|x-1|+|2-x|>2
第一种方法
先解|x-1|*|2-x|=0得x=1或x=2
然后对x<=1,2>x>1,x>=2讨论
第二种方法
令u=x+(1+2)/2

我们知道为了区分具有相反意义的量，引入了正数和负数。例如两辆汽车，第一辆向东行驶了6公里，第二辆向西行驶了5公里。如果要表...

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什么是零点分段法?
|x-1|+|2-x|>2
第一种方法
先解|x-1|*|2-x|=0得x=1或x=2
然后对x<=1,2>x>1,x>=2讨论
第二种方法
令u=x+(1+2)/2

我们知道为了区分具有相反意义的量，引入了正数和负数。例如两辆汽车，第一辆向东行驶了6公里，第二辆向西行驶了5公里。如果要表示它们行驶的方向（规定向东为正）和路程，就应当分别记作＋6公里和－5公里。但是，有时我们只需要研究行驶的路程，不需要考虑方向，即上例若问这两辆车各行驶了多少公里（不计方向），就可以记作6公里和5公里。这里6叫做＋6的绝对值，5叫做－5的绝对值。那么，什么叫一个数的绝对值呢？
2. 我们规定：
(1)一个正数的绝对值是它本身。
例如，|3|＝3，|＋8.2|＝8.2。
(2)一个负数的绝对值是它的相反数
例如，|－8|＝8，|－6.7|＝6.7。
(3)0的绝对值是0。
a是正数可以表示成a>0，a是负数可以表示成a < 0，这样，上面的三条可以表示成：
<1>如果a>0，那么|a|＝a；
<2>如果a<0，那么|a|＝－a；
<3>如果a=0，那么|a|＝0。
例1 求7，－7， ；－5 的绝对值。
|7|＝7， |－7|＝7， |－5 |＝5 。
3. 绝对值的几何意义。
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。
一个数的绝对值的表示法，是在这个数的两旁各画一条竖线。例如－2的绝对值记作|－2|。
例2 (1)＋3的绝对值怎么表示？是什么？
(2)－3的绝对值怎么表示？是什么？
(3) 绝对值等于3的数有几个？是什么？并将它们用数轴上的点表示出来。
答：(1)|＋3|＝3；
(2)|－3|＝3；
(3)绝对值等于3 的数有两个，是＋3和－3。
在数轴上表示的两个负数，例如－2和－7，－7的绝对值较大，而－7在－2的左边，因此－7小于－2。
两个负数，绝对值大的反而小。
例3 比较—1.2与—2.6 的大小。
∵ =1.2, =2.6
1.2<2.6
∴—1.2> —2.6.
注意：上面的符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”。
(三)巩固练习
1. |＋2.7|，|－2.7|各表示什么意思？
2. 和3 相等吗？为什么？
3. “绝对值相等，符号相反的两个数是互为相反数”这句话对吗？
4. “零的绝对值是零”这句话几何意义是什么？
5. 绝对值等于6的数有几个？是什么？用数轴上的点表示出所有绝对值等于6的数来。
6. 两个数的绝对值相等，这两个数是否一定相等？为什么？并举例说明。
7. “一个数的绝对值一定是正数”这句话是否正确？“一个数的绝对值一定不是负数”这句话是否正确？
8. |－9|和9是不是互为相反数？为什么？|＋9|和－9是不是互为相反数的？为什么？
9. 用“>”、“＝”或“<”号填空：
(1)|0.28|____|－5.2|；
(2)|0.02|____|－0.0003|； (3)|－5|_____|5|。
10. 计算：
(1)|－6|＋|3|； (2)|－3.9|＋|－0.6|；
(3) |－7.8|－|7.8|。
(四)小结
什么是一个数的绝对值呢？
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。
两个负数，绝对值大的反而小。
高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如：
Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)^2/Ci^2)
的高斯函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。
其实可以跟多项式拟合类比起来，不同的是多项式拟合是用幂函数系，
而高斯拟合是用高斯函数系。
使用高斯函数来进行拟合，优点在于计算积分十分简单快捷。这一点
在很多领域都有应用，特别是计算化学。著名的化学软件Gaussian98
就是建立在高斯基函数拟合的数学基础上的。
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
求数列通项公式常用以下几种方法：
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n

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