作业帮小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；第二步：连结B、F′并
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 08:54:47
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；第二步：连结B、F′并
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下
第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；
第二步：连结B、F′并延长交AC于点F ；
第三步：过 F 点作FE⊥BC ,垂足为点E；第四步：过F 点作FG‖BC交AB于点G；
第五步：过G 点作GD⊥BC,垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗?请你给出合理的解释.
如图
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步：画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；第二步：连结B、F′并
合理
他这种做法应用了相似三角形的知识.
ΔBF'G'∽ΔBFG
ΔBF'E'∽ΔBFE
ΔBG'D'∽ΔBGD
则有
BF':BF=BG':BG=F'E':FE=F'G':FG=G'D'：GD
因为D′E′F′G′为正方形
所有G'D'=G'F'=F'E'
所以,可知GD=GF=FE
从图中可以证明
DEFG为平行四边形（GF∥DE,GD∥FE,GD⊥DE）
而它有三边相等,
所以它是正方形
（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D1E1F1G1是正方形，
∴E1F1=F1G1，F1G1∥BC，
∴F1G1/FG =BF1/BF =E1F1/EF
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；<...
全部展开
（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D1E1F1G1是正方形，
∴E1F1=F1G1，F1G1∥BC，
∴F1G1/FG =BF1/BF =E1F1/EF
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴AN/AM=FG/BC
设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即80-X/80=X/120,
解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；
（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴AN/AM=FG/BC,
∵GF=1/2DG
设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即80-2X/80=X/120,
解得：x=30，
∴GF=30．
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