初中数学竞赛决赛试题给几份

初中数学竞赛决赛试题给几份
初中数学竞赛决赛试题
给几份

初中数学竞赛决赛试题给几份
2003年太原市初中数学竞赛题
一、选择题（共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填,得零分）
1．若4x－3y－6z=0,x+2y－7z=0(xyz≠0),则 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）.如果所寄一封信的质量为72.5g,那么应付邮费 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四条线段的长分别为9,5,x,1（其中x为正实数）,用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段（如上图）,则x可取值的个数为（ ）
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3）,且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( )
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题,每小题6分,满分30分）
6．已知 ,那么 .
7．若实数x,y,z满足 ,,,则xyz的值为 .
8．观察下列图形：
① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .
9．如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45º,∠A=60º,
CD=4m,BC= m,则电线杆AB的长为_______m.
10．已知二次函数 （其中a是正整数）的图象经 过点A（－1,4）与点B（2,1）,并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 .
三、解答题（共4题,每小题15分,满分60分）
11．如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等?证明你的结论.
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程）,并求出所需费用最少为多少元?
13B．如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时,求证：.
（2）当点D与点A重合时,第（1）小题中的等式是否存在?请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时,第（1）小题中的等式是否存在?请说明理由.
14B．已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4.
（1）求a,b,c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题.
13A．如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程 （k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 的值.
14A．沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式 >0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问：是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问：是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有 ≤0?请说明理由.
（2）
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题6分,满分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因为20×30,b0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为 ,有 .
所以 ,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有 ≤0.……（15分）.