BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,AE=3,CD=2*根号5,求AB、BC.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 03:14:34

BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,AE=3,CD=2*根号5,求AB、BC.
BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,AE=3,CD=2*根号5,求AB、BC.

BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,AE=3,CD=2*根号5,求AB、BC.
设BA,CD的延长线交于点G,因为BC为直径,
则∠BDC=∠BAC=∠GAC=90°,
弧AD=弧DC,∠ABD=∠DBC,则GD=CD=2√5,GC=4√5.
显然,△ACG∽△DCE,AC/DC=CG/CE,
设CE=x,则（AE+x）/2√5=4√5/x,AE=3,
可得x²+3x-40=0,则x=5,（x=-8舍去）
AC=AE+EC=3+5=8,则AG=√（CG²-AC²）=√【（4√5）²-8²】=4.
由割线定理,GA*GB=GD*GC,即4（4+AB）=2√5*4√5,
得 AB=6,则BC=√（AB²+AC²）=√（6²+8²）=10.

如图
∵BC是半圆O的直径
∴∠BAC=∠BDC=∠GAC=90º（直径所对的圆周角是直角）
∵弧AD=弧DC，
∴∠DBA=∠DBC
可得 △BDC≌ △BDG （ASA）
∴GD=CD=2√5，GC=4√5.
∵ ∠EDC=∠GAC=90º ∠C=∠C
∴△ACG∽△DCE
再∴A...

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如图
∵BC是半圆O的直径
∴∠BAC=∠BDC=∠GAC=90º（直径所对的圆周角是直角）
∵弧AD=弧DC，
∴∠DBA=∠DBC
可得 △BDC≌ △BDG （ASA）
∴GD=CD=2√5，GC=4√5.
∵ ∠EDC=∠GAC=90º ∠C=∠C
∴△ACG∽△DCE
再∴AC/DC=CG/CE （AC=AE+CE）
整理 CE²+3CE-40=0
CE=5 CE=-8(不合题意舍去）
又∵∠BAE=∠EDC=90º ∠AEB=∠DEC
∴△BAE∽△EDC
得 AB／CD=AE／DE （DE²=CE²-CD²得出DE=√5 ）
代入 AB=6
在RtBAC中 AB²+AC²=BC²
AB²+（AE+CE）²=BC²
6²+8²=BC²
∴BC=10

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