作业帮初一数学 能力扩展题如果正整数n有以下性质: n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,n的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_______. 请写清思路或过
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:35:25
初一数学 能力扩展题如果正整数n有以下性质: n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,n的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_______. 请写清思路或过
初一数学 能力扩展题
如果正整数n有以下性质: n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,n的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_______.
请写清思路或过程,谢谢~
初一数学 能力扩展题如果正整数n有以下性质: n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,n的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_______. 请写清思路或过
由于所求的数可以被8、9、25整除,故其最小值为8*9*25=1800.
另外补充一下常识x^n表示x的n次幂 （x*y）^n=(x^n)*(y^n)尽管你知道,我还是补充一下.GO ON!
1800/8=225 225=3^2*5^2=(3*5)^2
1800/9=200 200=2^3*5^2此时,200不是一个立方数,需要对其翻倍使其可以写成（xy）^3的形式 2已经是立方了5不是,但是如果只乘一个5,就破坏了前面225的平方性质,因此,要乘就得每次乘上5^(2*3)=5^6 1800/8=225
225*5^6=3^2*5^8 =3*(5^4)]^2 符合平方条件 另1800/9=200
200*（5^6）=(2^3)*(5^8) 不符合立方条件,故此
3^2*5^8与(2^3)*(5^8)需要再同时乘一个5的幂,即5^4,把刚才的数重弄一遍,得 （3^2*5^8）*（5^4）与 (2^3)*(5^8)*（5^4）
两个数分别为（3*5^6）的平方与（2*5^4）的立方,也就是说两个数同时乘了5^10 符合要求 另一方面 开始考虑1800/25=72 72*5^10=2^3*3^2*5^10 此时需要对2^3与3^2进行翻倍但是又不能破坏前面两个数的平方与立方性质
用上面的求最小公倍数次幂的思路求得 2^3*3^2*5^10需要与另外的（3^2*5^8）*（5^4）与 (2^3)*(5^8)*（5^4）同时乘上2^12与3^18
于是,得到了三个数：
1）(5^12*2^15*3^20)*225*8
2) (5^12*2^15*3^20)*200*9
3) (5^12*2^15*3^20)*72*25
经整理得,三个数均为同一个数,分解质因数得解
后面的部分我着急可能有错误,但思路大体是正确的,你自己回去把正确的给求出来不难
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