3道 柯西不等式 和 平均不等式 的1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2) 求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋

3道 柯西不等式 和 平均不等式 的1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2) 求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)
2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2)
求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋来的?)
33 求证:x^2/y^2+z^2+yz)+(y^2/x^2+z^2+xz)+(z^2/y^2+x^2+xy) >=1 (没思路...)

3道 柯西不等式 和 平均不等式 的1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2) 求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋
1.数形结合.
y^2-2ax<0 ,抛物线右边.
x^2+y^2-2ax>0 ,圆外面.
注意到圆和抛物线“相切”（其实只用说明只有一个交点即可.）
所以答案为：抛物线出去圆.（注意下边界不要出错）
2.即考虑[x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2]）*根号(x^2+y^2+z^2)
的最小值.
由于是齐次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1
于是成为：在条件x^2+y^2+z^2=1 下,求 [x/(1-x^2)+ y/(1-y^2)+ z/(1-z^2)]的最小值.这是很熟悉的：
注意到 x(1-x^2)在区间（0,1）上的最大值在 根号（3）／3 处取到：
2*〔x(1-x^2)〕^2=(2x^2)(1-x^2)(1-x^2)<=[2]^3/3等号在 根号（3）／3 处取到.
于是 x/(1-x^2)＝x^2/[x*(1-x^2)]>= 3倍根号(3)/2 * x^2
同理易得其他.最后由x^2+y^2+z^2=1 得出答案：3倍根号(3)/2
3.很常规的思想：利用xy<=(x^2 + y^2)/2
于是原式>=2/3 *[x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)]
考虑x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)的最小值：
后面是老题：由于其次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1.
于是上式=1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)-3
注意到[1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)][(y^2 + z^2)+(x^2 + z^2)+ (y^2 + x^2)]>=9 (这就是你所谓的柯西不等式)
于是1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)>= 9/2
于是得到x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)>=3/2
最后得到题目中式子>=1
等号在x=y=z时取到

第一个 数形结合 实际上表示一个区域 就是一个抛物线挖掉了一个顶点的曲率圆（意思是与顶点相切并且与抛物线只有一个交点，同样伸展方向的 半径最大的圆）
不知道这个解不等式组是不是求出x y的范围 这个区域 满足 y不为0 和 x>0
楼上均为高手 |||...

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第一个 数形结合 实际上表示一个区域 就是一个抛物线挖掉了一个顶点的曲率圆（意思是与顶点相切并且与抛物线只有一个交点，同样伸展方向的 半径最大的圆）
不知道这个解不等式组是不是求出x y的范围 这个区域 满足 y不为0 和 x>0
楼上均为高手 |||

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y^2-2ax<0
表示为抛物线y²=2ax,右边部分
x^2+y^2-2ax>0
表示为圆(x-a)²+y²=a²圆外部分
则y²-2ax<0 和 x²+y²-2ax>0
为抛物线y²=2ax,右边与圆(x-a)²+y²=a²相交的外部分...

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y^2-2ax<0
表示为抛物线y²=2ax,右边部分
x^2+y^2-2ax>0
表示为圆(x-a)²+y²=a²圆外部分
则y²-2ax<0 和 x²+y²-2ax>0
为抛物线y²=2ax,右边与圆(x-a)²+y²=a²相交的外部分
又抛物线与圆相切
则为抛物线y²=2ax开口右边且不含(x-a)²+y²=a²内的部分
3.
易得(3/2)(x²+y²)≥x²+y²+xy
=>1/(x²+y²+xy)≥2/3(x²+y²)
=>z²/(x²+y²+xy)≥2z²/3(x²+y²)
则x^2/y^2+z^2+yz)+(y^2/x^2+z^2+xz)+(z^2/y^2+x^2+xy)
≥2x²/3(z²+y²)+2y²/3(z²+x²)+2z²/3(x²+y²)
=(2/3)[x²/(z²+y²)+y²/(z²+x²)+z²/(x²+y²)]
=(2/3)[(x²+z²+y²)(1/(z²+y²)+1/(z²+x²)+1/(x²+y²)-3]
=(1/3)[(z²+y²+x²+z²+y²+x²)(1/(z²+y²)+1/(z²+x²)+1/(x²+y²)-6]
≥(1/3)[(1+1+1)²-6]=1
2

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