作业帮根号下(2-x的平方)=2sin(3x)的实根个数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:38:30
根号下(2-x的平方)=2sin(3x)的实根个数
根号下(2-x的平方)=2sin(3x)的实根个数
根号下(2-x的平方)=2sin(3x)的实根个数
利用图像法即可
先考虑定义域 x≤2
因为-2≤ 2sin(3x)≤2
所以 只需考虑 √(2-x)≤2
所以 -2≤x≤2
画出图像,y=√2-x,y=3sin(3x)
两个图像有4个交点,
所以 方程有四个实根
圆在x轴的上面的半圆与y=2sin(3x)的交点个数，共有3个
左边化简后为：|2-x|
分情况讨论当左边为2-x﹥0时，画出左边的图像为一条直线，右边是2sin(3x)，画出图后很明显的可以看出两个图像的交点
当左边为x-2﹤0时，同上画图可得交点
√(2-x^2)=2sin3x
1
2-x^2>=0 -√2<=x<=π√2
√(2-x^2)>0 sin3x>0
0<=3x<=π 或 2π<=3x<=3π 或 -√2<=x<=-π
0<=x<=π/3 2π/3<=x<=π -√2<=x<=-π/3
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√(2-x^2)=2sin3x
1
2-x^2>=0 -√2<=x<=π√2
√(2-x^2)>0 sin3x>0
0<=3x<=π 或 2π<=3x<=3π 或 -√2<=x<=-π
0<=x<=π/3 2π/3<=x<=π -√2<=x<=-π/3
因此 0<=x<=π/3 或-√2<=x<=-π/3
2
设g(x)=√(2-x^2)-2sin3x
g'(x)=-x/√(2-x^2)-6cos3x
0<=x<=π/3 x=π/3,g'(x)=6-(π/3)/√(2-π^2/9)>0
x=π/4,g'(x)>0
g(π/3)>0 g(π/4)<0 (π/4,π/4),g'(x)>0 因此存在π/4
g(0)=√2>0 g(π/6)<0 (0,π/6) g'(x)<0 因此存在0
x=-5π/12,g'(x)>0
g(-π/3)>0 g(-5π/12)<0 (-5π/12,-π/3)g'(x)>0 因此存在-5π/12
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