作业帮直线 PQ 的方程为3x+4y-4=0,C1,C2,,Cn,与直线 PQ 相切 ,直线 PQ 的方程为3x＋4y－4＝0,C1,C2,…… ,Cn,……与直线 PQ 相切 ,且互相依次外切 ,圆 C1 与 y 轴也相切 .这些圆的圆心分别为 (a1,0),(a2,0),…… ,(an,0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:39:12
直线 PQ 的方程为3x+4y-4=0,C1,C2,,Cn,与直线 PQ 相切 ,直线 PQ 的方程为3x＋4y－4＝0,C1,C2,…… ,Cn,……与直线 PQ 相切 ,且互相依次外切 ,圆 C1 与 y 轴也相切 .这些圆的圆心分别为 (a1,0),(a2,0),…… ,(an,0
直线 PQ 的方程为3x+4y-4=0,C1,C2,,Cn,与直线 PQ 相切 ,
直线 PQ 的方程为3x＋4y－4＝0,C1,C2,…… ,Cn,……与直线 PQ 相切 ,且互相依次外切 ,圆 C1 与 y 轴也相切 .这些圆的圆心分别为 (a1,0),(a2,0),…… ,(an,0),…… ,半径分别为 r1,r2,…… ,rn,…… .
①求通项公式 rn.②求所有这些半圆弧长的总和.
直线 PQ 的方程为3x+4y-4=0,C1,C2,,Cn,与直线 PQ 相切 ,直线 PQ 的方程为3x＋4y－4＝0,C1,C2,…… ,Cn,……与直线 PQ 相切 ,且互相依次外切 ,圆 C1 与 y 轴也相切 .这些圆的圆心分别为 (a1,0),(a2,0),…… ,(an,0
①过圆C1作PQ切线C1M交PQ于M,圆C1,2,3...交x轴于F1,2,3...,又由PQ方程可得
tan∠MQC1=3/4
∴sin∠MQC1=3/5,即MC1=3/5*C1Q
∴r1=0C1=OC1/(OC1+C1Q)*OQ=3/5/(1+3/5)*4/3=1/2
这里观察到r1是总长的3/8,直径是总长3/4,而F1Q=1/4OQ,F2Q=1/4F1Q...
类似地,
r2=3/8*F1Q=1/2*1/4=1/8
r3=3/8*F2Q=1/8*1/4=1/32
...
rn=1/2*1/4*1/4*...1/4=1/(2*4^(n-1))是比为1/4的等比数列
②总和=2πr1+2πr2+2πr3+...=2π(r1+r2+r3+...)=4π/3*(1-4^-n)
n趋向无穷时 总和=4π/3
如图，OQ = 4/3, OP = 1, tan<OPQ = 4/3, tan<OPC1 = 1/2 C1(1/2,0), Q1(1,0), OQ1=1, Q1Q = 1/3, Q1C2/Q1Q = 3/8, Q1C2 = 1/8 可以看出，rn = 1/2^(2n-1) r1 = 1/2 r2 = 1/2^3 r3 = 1/2^5 ... 半圆弧长和 = pai (r1+r2+...) = pai 1/2 * ( 1 + 1/2^2 + 1/2^4 +...) = 2pai/3