k^3+5k为什么能被6整除?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 07:12:30

k^3+5k为什么能被6整除?
k^3+5k为什么能被6整除?

k^3+5k为什么能被6整除?
1.n^3+5n能被6整除; n=1 1^3+5*1=6能被6整除
设n=k时能被6整除,即有 k^3+5k=6t
n=k+1时 (k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5 =k^3+5k+3k(k+1)+6 =6t+3k(k+1)+6
因为k(k+1)必然是偶数,所以3k(k+1)被6整除
所以n=k+1时能被6整除,
原命题成立

k=1时，1^3+5*1=6，能被6整除，
设k=n时能被6整除，即有 n^3+5n=6t
而当k=n+1时，
(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5 =n^3+5n+3n(n+1)+6 =6t+3n(n+1)+6 此式必能被3整除，
因为n(n+1)必然是偶数,所以3n(n+1)被6整除
所以k=n+1时能被6整除,原命题成立...

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