作业帮求一个数：除以3余2；除以5余4；除以7余6；除以9余8；能被11整除.这数是几?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:48:31
求一个数：除以3余2；除以5余4；除以7余6；除以9余8；能被11整除.这数是几?
求一个数：除以3余2；除以5余4；除以7余6；除以9余8；能被11整除.这数是几?
求一个数：除以3余2；除以5余4；除以7余6；除以9余8；能被11整除.这数是几?
同余问题
这个数比3,5,7,9的公倍数多1
这个数可能是：314,629,944,1259,1574,1889,2204,2519,2834……
再看这些数能不能被11整除
能被11整除的数的特征：若一个数奇数位的数字与偶数位的数字之差是11的若干倍,那么这个数是11的倍数
2519能被11整除
这数最小是2519
满足条件的数字还有很多呢
(315n-1）/11=28n+(7n-1)/11 要这个数能被11整除，只需7n-1是11的整倍数。 n可以为8,19, 当n=8+11k (k为自然数)时，均满足题意，有
这个数除以3余2，说明它＋1能整除3
这个数除以5余4，说明它＋1能整除5
这个数除以7余6，说明它＋1能整除7
这个数除以9余8，说明它＋1能整除9
那么，仅从这几个标准来判断，这个数是3，5，7，9的某个公倍数－1
这个数有可能是：314，629，944……
剩下的过程，就是判断这个数能不能被11整除（若一个数奇数位的数字与偶数位的数字之差是11...
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这个数除以3余2，说明它＋1能整除3
这个数除以5余4，说明它＋1能整除5
这个数除以7余6，说明它＋1能整除7
这个数除以9余8，说明它＋1能整除9
那么，仅从这几个标准来判断，这个数是3，5，7，9的某个公倍数－1
这个数有可能是：314，629，944……
剩下的过程，就是判断这个数能不能被11整除（若一个数奇数位的数字与偶数位的数字之差是11的若干倍，那么这个数是11的倍数）。
314，629，944，1259，1574，1889，2204都显然不能，而2519却可以。
所以2519加上3，5，7，9，11的最小公倍数的若干倍，都可以满足条件。
满足条件的数字有：2519，5984，9449，12914……
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设该数为x，则x≡2(mod3)，x≡4(mod5)，x≡6(mod7)，x≡8(mod9)，x≡0(mod11)；这是典型的一次同余式组。另外由于9|(x-8)，3|9，所以3|(x-8)，即x≡8(mod3)≡2(mod3)，所以同余式x≡2(mod3)是多于的；令b1=4，b2=6，b3=8，b4=0，m1=5，m2=7，m3=9，m4=11，则x≡b1(modm1)，x≡b2(modm2)...
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设该数为x，则x≡2(mod3)，x≡4(mod5)，x≡6(mod7)，x≡8(mod9)，x≡0(mod11)；这是典型的一次同余式组。另外由于9|(x-8)，3|9，所以3|(x-8)，即x≡8(mod3)≡2(mod3)，所以同余式x≡2(mod3)是多于的；令b1=4，b2=6，b3=8，b4=0，m1=5，m2=7，m3=9，m4=11，则x≡b1(modm1)，x≡b2(modm2)，x≡b3(modm3)，x≡b4(modm4)；M=m1m2m3m4=3465，M1=M/m1=693，M2=M/m2=495，M3=M/m3=385，M4=M/m4=315；另有 M1N1≡1(modm1)，M2N2≡1(modm2)，M3N3≡1(modm3)，M4N4≡1(modm4)，所以N1=2，N2=3，N3=4，N4=8，所以x≡b1M1N1+b2M2N2+b3M3N3+b4M4N4(modM)≡2519(mod3465)，所以这个数最小为2519，显然2519的倍数也满足条件(毕)。
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